Encuentre asintóticos para la solución$x$ de$(x+1)^{\frac{n+1}{n}}-x^{\frac{n+1}{n}}=5$

Question

Es fácil ver que para cualquier $n\geq 1$, la ecuación $(x+1)^{\frac{n+1}{n}}-x^{\frac{n+1}{n}}=5$ tiene un único positivo solución ; llamarlo $x_n$.

Existe una sencilla fórmula asintótica para $x_n$ ? He intentado sin éxito para encontrar uno, y se calcula que

$$ \lfloor x_3 \rfloor=53, \ \lfloor x_4 \rfloor=256, \ \lfloor x_5 \rfloor=1256, \ \lfloor x_6 \rfloor=6195, \ \lfloor x_7 \rfloor=30678, \ \lfloor x_8 \rfloor=152243, \ $$

Parece que la secuencia de $(\frac{x_{n+1}}{x_n})$ es el aumento de y converge a $5$.

Answer 1

Por el teorema del valor medio, tenemos

PS

para algunos $$5 = (x_n+1)^{(n+1)/n} - x_n^{(n+1)/n} = \frac{n+1}{n}(x_n + \xi_n)^{1/n}\cdot 1$. Que cede

PS