¿Qué significa la frase "excepto posiblemente"?

Question

Este término lo utilizó mi profesor de matemáticas cuando nos enseñaba los límites. Este término también aparece en Internet así "Sea f una función que está definida en algún intervalo abierto que contiene $a$ excepto posiblemente en $x = a$ ". ¿Significa esto que $x$ puede ser igual a $a$ y no ser igual a $a$ ? Este término me ha molestado mucho.

Answer 1

En el caso que citas, significa que $f$ puede no estar definida en $a$ . Podría definirse en $a$ pero no tiene por qué serlo. En términos más generales, estás indicando un caso excepcional en el que una hipótesis o un resultado no tienen por qué cumplirse. De nuevo, puede ser que se cumpla en el caso designado por "excepto posiblemente", pero no tiene por qué.

Answer 2

Decir que algo A ocurre excepto posiblemente por B significa que siempre que B no sea cierto ocurre A. En este caso B es $x=a$ y $A$ es $f$ que se está definiendo.

Normalmente lo decimos para reconocer que puede ocurrir un problema, pero la situación B es una que podemos ignorar y no importa para la prueba o definición real.

Por ejemplo, podemos decir que si $a_n$ es una secuencia que converge a $0$ entonces $|a_n|<1$ para todos los casos, excepto para un número finito de $n$ 's. En este caso A es $|a_n|<1$ y B es "finitamente muchos casos". Este hecho no cambiará nada sustancial de la secuencia $a_n$ porque nos importa (en algunos contextos) lo que ocurre en el límite, en lugar del inicio de la secuencia.

Answer 3

Significa que su función $f(x)$ puede definirse para algunos $x=a$ es decir $a$ está en su dominio y $f(a)$ tiene un valor claramente definido.

Pero no lo hace tienen que porque como sólo te estás acercando a ese valor y nunca estás evaluando la función en él, no tiene que estar definida en absoluto para que puedas tomar un límite.

Aunque he intentado dar una imagen intuitiva, también tiene sentido si se observan las definiciones formales de épsilon-delta.