$ (1 + x)^{1/x} $ cuando$ x \to \infty$ sin la regla de L'Hospital

Question

Título es la pregunta en sí.

¿Cómo puedo mostrar a continuación sin la Regla de L'Hospital?

PS

Answer 1

Por simplicidad, vamos a$f(h) = (1+1/h)^{h}$. Queremos mostrar$$\lim_{x\to\infty} f(x)=1$ $

O bien,$$\lim_{x\to\infty} \ln(f(x)) = \lim_{x\to\infty}\frac{\ln(1+x)}{x}=0.$ $

De manera equivalente, para cualquier$\epsilon>0$, entonces para$x$ suficientemente grande$$1+x < e^{\epsilon x}\tag{1}$ $

Intuitivamente,$(1)$ retiene desde$e^\epsilon>1$. Más explícitamente, si permitimos que$e^\epsilon = 1+\delta$, entonces$$ e^{\epsilon x} = (1+\delta)^x > 1+n\delta + \frac{n(n-1)}2\delta^2> 1+(n+1)>1+x$ $ donde$n=\lfloor x\rfloor$ y$x$ sean lo suficientemente grandes.

Nota : el argumento anterior asume que$x\to \color{red}{+}\infty$, un argumento similar funciona con$x\to\color{red}{-}\infty$, pero con un poco más de esfuerzo.

Answer 2

Para cualquier$a>0$ y$x\ge 1$, tenemos$0\le \log(x)\le \frac{x^a-1}{a}$.

Por lo tanto, podemos escribir para$x\ge 1$ y$0<a$

$$ \begin{align} \left(1+x\right)^{1/x}&=e^{\frac1x\log(1+x)}\\\\ &\le e^{\frac1x \frac{(1+x)^a-1}{a}}\tag 1 \end {align} $$

La desigualdad en$(1)$ es verdadera para cualquier$a>0$. Si tomamos$0<a<1$ (tomamos$a=1/2$ por ejemplo), entonces$\lim_{x\to \infty}\left(\frac1x \frac{(1+x)^a-1}{a}\right)=0$.

Usando la continuidad de la función exponencial, concluimos que

PS

Answer 3

Para$(1+x)^{\frac{1}{x}}$ tome la sustitución$y=\frac{1}{x}$ donde$y \rightarrow 0$ como$x \rightarrow + \infty$

Entonces el límite se convierte en:

$\lim_{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}= \lim_{y \rightarrow 0}(1+\frac{1}{y})^y$

PS

Ahora encuentra el límite$$(1+\frac{1}{y})^y=e^{y\ln{(1+ \frac{1}{y})}}$ $

usando la expansión de taylor para:$$y \ln{(1+ \frac{1}{y})}=y\ln{(1+y)}-y \ln{(1-(1-y))}$$$y\ln{(1+y)}$$ $ $

a $y \ln{(1-(1-y))}$

Answer 4

Basado en el Pescante de la Mitra's comentario, me di cuenta de que una simple prueba.

(También estoy muy agradecido a muchas otras respuestas.)

Por AM > GM,

$$ \frac{\overbrace{1 + 1 + \cdots + 1}^{x-2 \,\text{momentos}}+ \sqrt{1+x} + \sqrt{1+x}}{x} \ge (1 + x)^\frac1x \ge 1 \\ \underbrace{ 1 - \frac{2}x + \frac{2\sqrt{1+x}}x }_{(1)} \ge (1 + x)^\frac1x \ge 1$$ si $x$$\infty$, eq.(1) va a $1$.

Answer 5

INSINUACIÓN:

Deje$x\ge 1$ y$n = [x]$ para que$n\le x < n+1$. Tenemos

PS