¿Por qué este mapa$H^1$?

Question

Tengo el siguiente proposición (tomado de Klingenberg de Conferencias sobre Cerrado Geodesics):

Deje $\pi: E \rightarrow S$ $\mathcal{O} \subset E$ ser finito dimensional de fibra de paquete sobre el círculo con una métrica de riemann y una de riemann de conexión, y un conjunto abierto que se cruza con cada fibra, respectivamente. Vamos $\phi: F \rightarrow S$ ser otro de fibra de paquete de la misma clase. Suponga que

$$f: \mathcal{O} \rightarrow F$$

es un diferenciable de fibra de mapa ($\phi \circ f=\pi$).

Así, tenemos que la inducida por la asignación:

$$\tilde{f}: H^1(\mathcal{S}) \rightarrow H^1(F); \quad (\xi(t)) \mapsto \left(f\circ \xi(t)\right)$$

es continua

Mi pregunta es: ¿por qué $$\tilde{f}: H^1(\mathcal{O}) \rightarrow H^1(F)$$

?? Más explícitamente, ¿por qué la imagen de una $H^1$ sección (absolutamente continua con el cuadrado integrable derivado, el cual se define una.e.) un $H^1$ sección?

Answer 1

Se deduce de la compacidad de$S^1$ y el hecho de que$f$ es diferenciable ($C^{\infty}$) de que la derivada está limitada. La regla de la cadena entonces implica los hechos necesarios.