Es esta una cuádrupla representación de las ecuaciones de movimiento de la Relatividad General?

Question

En El Grupo de Cuaterniones y la Física Moderna por P. R. Girard, la cuádrupla forma de la general relativista de la ecuación de movimiento se deriva de

$du'/ds = (d a / d s ) u {a_c}^* + a u ( d {a_c}^* / d s ) + a (du/ds ) {a_c}^*$

como

$du/ds = - [ ( a_c \frac{da}{ds})u - u ( a_c \frac{da}{ds})^*]$.

donde $u$ es un "minquat" de la forma $(ct,ix,iy,iz)$ y es una función arbitraria de satisfacciones $a{a_c}=1$

Se dice que esta es "corresponden" a la ecuación de movimiento de GR. Es un increíblemente elegante formulación de la ecuación.

He probado la aplicación de esta fórmula a $a=\cos(s)-i\sin(s) \hat{i}$ y, a menos que he cometido algunos errores y me hizo probablemente, esto se traduce en $x(1+\cos(2s))+ ict(1+\sin(2s))$ durante los dos primeros términos.

1.Lo físico es el significado de estos términos?

2.Esto realmente representan el GR ecuaciones de movimiento?

*3. ¿El conjunto de funciones arbitrarias de satisfacciones $a{a_c}=1$ representa a una teoría general de la relatividad grupo de simetría?

4.¿Qué otras funciones de satisfacer la condición de $a{a_c}=1$ debo usar? (También he utilizado $e^{i\theta}$ y esta conectado a $x$ $ct$ lo cual es muy interesante, pero-de nuevo-¿qué representan en realidad?)

5.Puedo usar esta ecuación para obtener algún estándar de los resultados? Me gustaría ver la centrífuga y otros ficticios fuerzas salir de ella tal vez.

He encontrado que el método de Runge Lenz vector se utiliza para calcular las órbitas de Newton, la Gravedad y el GR, pero estoy desconcertado por la introducción de este vector en este caso.

Puede ser traducido en un estándar de la formulación de las ecuaciones de movimiento?

Cualquier información o asesoramiento para afrontar este sería apreciada.

Answer 1

Esta ecuación es la ecuación geodésica en el quaternionic coordenadas, donde $u$ es de los cuatro vectores de velocidad.

Me voy a dar una derivación de esta ecuación en el más conocido local de Lorentz formalismo y, a continuación, establecer la equivalencia.

Dado un marco de vielbeins $e_a = e^{\mu}_a \frac{\partial}{\partial x^{\mu}}$. La ecuación geodésica es simplemente la afirmación de que los cuatro la velocidad de $ v = v^a e_a$es un invariante:

$dv= 0 $

Escribir esta ecuación en componentes, obtenemos:

$ dv^a + \omega^a_b v^b = 0 $

donde: $e^b$ son a la inversa vielbeins y $\omega^a_b = \omega^a_{\mu b} dx^{\mu}$ es el giro de la conexión de una forma definida por:

$ de_b = \omega^b_c e_c $

La geodésica ecuación puede ser escrita en la habitual coordinar la representación sustituyendo:

$v^a = v^{\mu} e_{\mu}^a$

y el uso de la torsión de la condición libre de:

$\partial_{ \mu} e_{\nu}^a + \omega_{\mu b}^a e_{\nu}^a - \Gamma_{\mu \nu}^{\lambda} e_{\lambda}^a = 0$

Ahora, después de haber establecido que el invarianve de los cuatro vectores de velocidad da la ecuación geodésica, aún existe otra representación de la misma ecuación a lo largo de la siguiente principio:

Existe un local de la transformación de Lorentz (puede ser en singular), que transforma a la partícula resto de marco es decir, existe

$v\prime^a = \Lambda^a_b(x) v^a$

tal que

$ dv\prime^a = 0$ (de las componentes, esta ecuación sólo significa que las componentes de la velocidad en el marco del resto son constantes).

Usando las dos ecuaciones de arriba, vemos que a nivel local:

$\omega^a_b = d\Lambda_a^c \Lambda_c^b$

Substuituting esta ecuación en la primera versión de la línea geodésica ecuación, obtenemos:

$ dv^a + d\Lambda_a^c \Lambda_c^b v^b = 0 $

Esta ecuación es sólo la versión vectorial de la ecuación geodésica del artículo.

El lado derecho está compuesto de un número finito de locales de transformación de Lorentz, seguido por un infinitesimal uno como en el quaternionic representación.

En resumen, esta forma de la ecuación geodésica se basa en los dos principios siguientes:

1. En la relatividad general, thefour la velocidad es un invariante.

2. Existe un local de Lorentz marco en el que todas las componentes de la velocidad son constantes.