Ortogonalidad de las funciones de onda sumadas

Question

El problema. Sé que las dos funciones de onda $\Psi_1$ y $\Psi_2$ son todos normalizados y ortogonales. Ahora quiero demostrar que esto implica que $\Psi_3=\Psi_1+\Psi_2$ es ortogonal a $\Psi_4=\Psi_1-\Psi_2$ .

Mi solución ingenua. A partir de las premisas, sabemos que $$\int_{-\infty}^\infty \Psi_1^*\Psi_1 dx=\int_{-\infty}^\infty \Psi_2^*\Psi_2 dx=1$$ y $$\int_{-\infty}^\infty \Psi_1^*\Psi_2 dx=\int_{-\infty}^\infty \Psi_2^*\Psi_1 dx=0$$

También tenemos $(z_1+z_2)^*=z_1^*+z_2^*$

$$\int_{-\infty}^\infty \Psi_3^*\Psi_4 dx = \int_{-\infty}^\infty (\Psi_1+\Psi_2)^*(\Psi_1-\Psi_2)dx \\ =\int_{-\infty}^\infty(\Psi_1^*+\Psi_2^*)(\Psi_1-\Psi_2)dx\\ =\int_{-\infty}^\infty(\Psi_1^*\Psi_1-\Psi_1^*\Psi_2+\Psi_2^*\Psi_1-\Psi_2^*\Psi_2)dx\\ =1-0+0-1=0\,,$$

que es equivalente a lo que queríamos probar. ¿Es esta una prueba legítima? ¿Hay alguna forma más sencilla de hacerlo? Me temo que todavía no he entendido cómo se comportan matemáticamente las funciones de onda, así que puede que me haya perdido algo muy obvio aquí.

Editar : El manual de soluciones utiliza de alguna manera factores de normalización para $\Psi_3$ y $\Psi_4$ . ¿Cómo son estos factores cuando no se conocen las funciones exactas? ¿Y cómo se relaciona esto con el concepto de ortogonalidad?

Answer 1

Este problema podría realizarse de forma más sencilla mediante la aplicación del álgebra lineal. Se quiere demostrar que

$$\langle \psi_1 - \psi_2 | \psi_1 + \psi_2 \rangle = 0$$

El producto interior es análogo al producto punto del álgebra lineal, y es distributivo. Distribuyendo, encontramos que

$$\begin{aligned} \langle \psi_1 - \psi_2 | \psi_1 + \psi_2 \rangle &= \langle \psi_1 - \psi_2 | \psi_1 \rangle + \langle \psi_1 - \psi_2 | \psi_2 \rangle \\ &= \langle \psi_1 | \psi_1 \rangle - \langle \psi_2 | \psi_1 \rangle + \langle \psi_1 | \psi_2 \rangle - \langle \psi_2 | \psi_2 \rangle \end{aligned} $$

Porque $\psi_1$ y $\psi_2$ son ortogonales y normalizados, ya sabes $\langle \psi_i | \psi_j \rangle = \delta_{i j}$ . Sustituyendo, la expresión anterior se evalúa como $1 - 0 + 0 - 1 = 0$ demostrando que los dos vectores son efectivamente ortogonales.

Tu planteamiento -utilizando las integrales- también era válido, y fundamentalmente similar al mío aquí. Sin embargo, al observar que la relación que utilizaste ( $\langle \psi_1 | \psi_2 \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \! \psi_1^* \psi_2 \, \mathrm{d}x$ ) satisface la definición de producto interior, se pueden omitir las integrales.