Normalidad asintótica: ¿se cumplen las siguientes convergencias?

Question

Supongamos que tenemos una secuencia$Z_n$ de estimadores con media$\mu_n$ y varianza$\sigma_n^2$. Supongamos que sabemos que existen constantes$a_n$ y$b_n(>0)$ tal que$\dfrac{Z_n-a_n}{b_n}\to\mathcal N(0,1)$ en la distribución.

Entonces, ¿es cierto que$\dfrac{\sigma_n^2}{b_n^2}\to1$ y$\dfrac{\mu_n-a_n}{b_n}\to0$?

¿Me puede indicar la literatura relevante?

Answer 1

Esto puede ser resuelto a partir de principios básicos. Al final voy a explicar la idea subyacente.

Deje $X_n$ ser una secuencia de iid Normal estándar de las variables y, de forma independiente de la misma, que $Y_n$ ser también una secuencia. Independientemente de que ambos de ellos deje $U_n$ ser una secuencia de Bernoulli independientes de las variables con el parámetro $1/n$: $U_n$ tiene una probabilidad $1/n$ de iguala $1$ e lo contrario es $0$. Elija un número de $p$ (a determinar por debajo) y definir

$$Z_n = U_n(Y_n + n^p) + (1-U_n) X_n.$$

Cada una de las $Z_n$ es una mezcla de una Normal estándar (es decir,$X_n$) y una Normal estándar desplazado a $n^p$ (es decir,$Y_n+n^p$). Calcular la media y la varianza de $Z_n$:

$$\mu_n = n^{p-1};\quad \sigma^2_n = 1 + (n-1)n^{2(p-1)}.$$

La distribución de $Z_n$ se aproxima a una distribución Normal estándar $\Phi$ debido a que su función de distribución es

$$F_{Z_n}(z) = \frac{n-1}{n}\Phi(z) + \frac{1}{n}\Phi(z-n^p) \to \Phi(z).$$

En consecuencia, $a_n=0$ $b_n=1$ va a trabajar, ya que $(Z_n-a_n)/b_n=Z_n$. Sin embargo,

$$\frac{\sigma_n^2}{b_n^2} = \frac{1 + (n-1)n^{2(p-1)}}{1} \approx n^{2p-1}$$

diverge para $p \gt 1/2$ y

$$\frac{\mu_n-a_n}{b_n} = \frac{n^{p-1}}{1}$$ diverge para $p \gt 1$.

Lo que ha sucedido es que la mudanza de una fuga de bits del total de la probabilidad ( $1/n$ ) no cambia la limitación de la distribución, pero la difusión de los dos componentes, lo suficiente como para contrarrestar esa pequeña probabilidad (mediante la selección de una lo suficientemente grande $p$) nos permite el control de la media y la varianza y hacer ambas divergen.