Encontrar una matriz invertible P y alguna matriz C

Question

Encontrar una matriz invertible $P$ y una matriz $C$ de la forma

$C=\begin{pmatrix}a & -b\\b & a\end{pmatrix}$

tal que la matriz dada $A$ tiene la forma $A = PCP^{-1}$

$A=\begin{pmatrix}5 & -2\\1 & 3\end{pmatrix}$

Lo primero que intenté hacer fue encontrar los vectores propios de la matriz $A$ y tengo estos vectores (que he pegado para obtener la matriz $P$ y $P^{-1}$ )

$P=\begin{pmatrix}1+ i& 1-i\\1 & 1\end{pmatrix}$

$P^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2i} & \frac{-1+i}{2i}\\-\frac{1}{2i} & \frac{1+i}{2i}\end{pmatrix}$

No estoy seguro de cómo encontrar la matriz $C$ Al principio pensé que podía introducir los valores propios en el $C$ matriz, pero no creo que ese sea el problema que me piden.

Se agradecerá cualquier ayuda

Answer 1

El polinomio característico de $A$ tiene dos raíces complejas: $\lambda_1 = a + ib$ y $\lambda_2 = a - ib$ .

Desde entonces, $A$ y $C$ comparten los mismos valores propios (en dimensión 2 equivale a comprobar que el determinante y la traza de ambas matrices son iguales), son similares y dicha matriz $P$ existe.

Si $b=0$ ( $\lambda_1=\lambda_2=\lambda$ ), la existencia de $P$ no está garantizado a menos que pueda demostrar que $\text{Ker}(A-\lambda I)$ tiene dimensión 2.

Así que, en pocas palabras, hay que encontrar los valores propios de $A$ y tomar las partes real e imaginaria para obtener las entradas de $C$ .

Answer 2

Para encontrar $P$ y $C$ , tenga en cuenta que

$$A = PCP^{-1}\iff AP=PC$$

como A y C son similares tenemos que

• $Tr(A)=Tr(C) \implies 2a=8 \implies a=4$
• $\det(A)=\det(C) \implies a^2+b^2=17 \implies b=\pm1$

entonces deja que $P=[v_1\, v_2]$ y tenemos

• $Av_1=av_1+bv_2$
• $Av_2=-bv_1+av_2$

y con $v_1=(x,y)\quad v_2=(z,w)$ que tenemos para $b=1$

• $5x-2y=4x+z\implies x-2y-z=0$
• $x+3y=4y+w\implies x-y-w=0$
• $5z-2w=-x+4z\implies x+z-2w=0$
• $z+3w=-y+4w\implies y+z-w=0$

y encontramos $v_1=(2,1)\, v_2=(0,1)$ y finalmente

$$C=\begin{pmatrix}4 & -1\\1 & 4\end{pmatrix}\quad P=\begin{pmatrix}2 & 0\\1 & 1\end{pmatrix}\quad P^{-1}=\begin{pmatrix}\frac12 & 0\\-\frac12 & 1\end{pmatrix}$$

Answer 3

Por esta pregunta , $A$ tiene valores propios $4\pm i$ por lo que es similar a una matriz de la forma $$C=\begin{bmatrix}4&-1\\1&4\end{bmatrix}.$$ Esta respuesta muestra cómo construir una base adecuada sin calcular explícitamente ningún valor propio. Obsérvese que la matriz resultante en la pregunta tiene los signos opuestos a los que queremos en el $\beta$ en nuestra matriz, pero podemos invertir los signos tomando $\mathbf v_2=\frac1\beta B\mathbf v_1$ .

Siguiendo este método, tenemos $$B = \begin{bmatrix}5&-2\\1&3\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}4&0\\0&4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&-2\\1&-1\end{bmatrix}.$$ Taking $\mathbf v_1=(1,0)^T$, we have $\mathbf v_2=(1,1)^T$, therefore $$P = \begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}, P^{-1}=\begin{bmatrix}1&-1\\0&1\end{bmatrix}.$$

Ya que te has tomado la molestia de encontrar los vectores propios de $A$ La segunda parte de la pregunta vinculada sugiere otra forma de encontrar $P$ . Desde $A$ es real, entonces para cualquier vector complejo $\mathbf v$ , $$A(\Re\mathbf v) = \frac12A(\mathbf v+\bar{\mathbf v}) = \frac12(A\mathbf v+A\bar{\mathbf v}) = \frac12(A\mathbf v+\overline{A\mathbf v}) = \Re(A\mathbf v)$$ y de manera similar $A(\Im\mathbf v)=\Im(A\mathbf v)$ . Sea $\mathbf v_r$ y $\mathbf v_i$ sean vectores reales linealmente independientes tales que $\mathbf v_r+i\mathbf v_i$ es un vector propio de $\alpha-i\beta$ . (Demostrar que esto es siempre posible es un ejercicio relativamente sencillo, pero útil). A continuación, $$A\mathbf v_r = \Re[(\alpha-i\beta)(\mathbf v_r+i\mathbf v_i)] = \alpha\mathbf v_r+\beta\mathbf v_i$$ y $$A\mathbf v_i = \Im[(\alpha-i\beta)(\mathbf v_r+i\mathbf v_i)] = \alpha\mathbf v_i-\beta\mathbf v_r.$$ Configuración $P=\begin{bmatrix}\mathbf v_r&\mathbf v_i\end{bmatrix}$ y $J=\small{\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}$, we can write these as $$\begin{align}A\mathbf v_r &= P(\alpha I+\beta J)P^{-1}\mathbf v_r \\ A\mathbf v_i &= P(\alpha I+\beta J)P^{-1}\mathbf v_i\end{align}$$ y como $\mathbf v_r$ y $\mathbf v_i$ son linealmente independientes, esto es válido para todos los $\mathbf v$ Por lo tanto $A=P(\alpha I+\beta J)P^{-1}$ . Nótese que esto es consistente con el primer método ya que a partir de la expresión para $A\mathbf v_r$ obtenemos $\mathbf v_i = \frac1\beta(A-\alpha I)\mathbf v_r$ .

Para su matriz, ha encontrado que $(1-i,1)^T$ es un vector propio de $4-i$ . Esto se divide en partes reales e imaginarias $(1,1)^T$ y $(-1,0)^T$ , respectivamente, lo que da $P=\small{\begin{bmatrix}1&-1\\1&0\end{bmatrix}}$ .