Teorema de Weierstrass y condición necesaria.

Question

Este es el ejercicio$(7.36)$ de Hewitt & Stromberg - Análisis real y abstracto y no puedo entender la construcción.

Deje que$X$ sea cualquier subconjunto no compacto de$\mathbb{R}$. Encuentre una familia separadora$\mathcal{C}$ en el conjunto de todas las funciones continuas en$X$, de modo que los polinomios en la familia$\mathcal{C} \cup \{1\}$ no sean densos en el conjunto de todas las funciones continuas en$X$ .

¿Es esta una manera de describir la condición necesaria sobre la compacidad del conjunto X en el teorema de Stone-Weierstrass?

Answer 1

Suponga al principio que$X$ no está cerrado y deje que$x_0\in \overline{X} \setminus X.$ defina la función$\varphi : X\to\mathbb{R} ,$$\varphi (t) =(t-x_0 )^{-1} $$\varphi\in C(X)$pero para cualquier polinomio$W:\mathbb{R}\to\mathbb{R} $ tenemos$$\left|\left| W-\varphi \right|\right|_{\infty} =\infty.$ $ Si$X$ está cerrado, entonces$X$ debe ser ilimitado. Entonces, en este caso, definamos$\psi :X\to\mathbb{R} ,$$\psi (t) = e^{|t|} $ y luego$\psi\in C(X)$ pero para cualquier polinomio$V:\mathbb{R}\to\mathbb{R} $ tenemos$$\left|\left| V-\psi \right|\right|_{\infty} =\infty.$ $