La constante matemática $\pi$ se produce en la fórmula del área de un círculo, $A=\pi r^2$, y en la fórmula de la circunferencia de un círculo, $C= 2\pi r$. ¿Cómo hace uno para demostrar que estas constantes son el mismo?
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user56747
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La fórmula $C = 2\pi r$ es la definición de $\pi$. Esto significa que cuando la gente pregunta qué $\pi$ es, la respuesta es $\frac{C}{2r}$.
Así que la verdadera pregunta aquí es ¿por qué es el área de un círculo de $\frac{1}{2}Cr$? Para una respuesta intuitiva imaginar cortar un círculo en rebanadas de pizza y apilado, a continuación, como en esta imagen:
$\hspace{5.5cm}$
Si su rebanadas de pizza son lo suficientemente delgada, entonces, que la forma es casi un rectángulo y la podemos obtener de la zona por los tiempos de la longitud anchura. El ancho es el radio y la longitud es la mitad de la circunferencia. Por lo tanto $A = \frac{1}{2}Cr$.
Bill Kleinhans
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celtschk
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Una manera de ver es si usted se considera un círculo con un radio de $r$ y otro círculo con un radio de $r+\Delta r$ (donde $\Delta r\ll r$) alrededor de un mismo punto, y hay que considerar el área entre los dos círculos.
Al igual que con cualquier forma, el área es proporcional al cuadrado de una longitud típica; la radio es como un típico longitud. Es decir, un círculo de radio $r$ tiene el área de $Cr^2$ con algunas constantes $C$. Ahora, el área entre los dos círculos se tiene el área de $\Delta A = C(r+\Delta r)^2-Cr^2\approx 2Cr\,\Delta r$. Esa relación se presenta exacto como $\Delta r\to 0$.
Por otro lado, la distancia entre los dos círculos es constante, y, por tanto, suficientemente pequeño $\Delta r$ puede "desenrollar" esta forma en un rectángulo (de nuevo, el error que se hace al hacer esto se desvanece en el límite de $\Delta r\to 0$). El rectángulo tiene como uno de los lados de la circunferencia, $2\pi r$, y como el otro lado de la $\Delta r$. Desde el área de un rectángulo es el producto de las longitudes de los lados, obtenemos como área de $\Delta A = 2\pi r\,\Delta r$.
Comparando las dos ecuaciones, obtenemos $2Cr\,\Delta r=2\pi r\,\Delta r$, $C=\pi$.
Michael Hardy
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Aquí hay algo que me gusta llamar la "regla de límite": $$ \begin{align} & \phantom{={}} [\text{rate of motion of boundary}]\times[\text{size of boundary}] \\[10pt] & = [\text{rate of change of size of bounded region}] \end{align} $$
Aplicar esto a un círculo cada vez mayor. La tasa de movimiento de la frontera es $\dfrac{dr}{dt}$. El tamaño de la frontera es $C$. La tasa de cambio de tamaño de la región acotada es $\dfrac{dA}{dt}$.
Desde $A$ es de la zona y $r$ es una distancia, debemos tener $$A=(\text{some constant}\cdot r^2).\tag{1}$$ Por lo tanto $$ \begin{align} C\frac{dr}{dt} & = \frac{dA}{dt} \text{ by the boundary rule} \\[6pt] & = \frac{dA}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}. \end{align} $$ La cancelación, obtenemos $$ C = \frac{dA}{dr}. $$ La aplicación de $(1)$ y diferenciar le da la igualdad de las dos constantes.
Ahora la pregunta difícil: ¿En qué contextos podría esto califica como una "prueba"?
