Demostrar que $9^n+4^{n+1}$ es múltiplo de $5$ para todos $n \in \mathbb{N}$

Question

Demostrar que $9^n+4^{n+1}$ es múltiplo de $5$ para todos $n \in \mathbb{N}$

Prueba. Así que voy a demostrar esto por inducción. El primer caso cuando $n=1$ es trivial ya que: $$9+16=25,$$ que implica $ 5 \mid 25$ .

Ahora tenemos que demostrar que es divisible cuando $n=k+1$ . Lo utilizaremos más adelante, pero $$9^k+4^{k+1}=5k.$$ El sitio n, $$\begin{align}9^{k+1}+4^{k+2} &= 9 \cdot 9^k+4 \cdot 4^{k+1} \\ &= 9 \cdot 9^k+(9-5) \cdot 4^{k+1} \\ &=9 \cdot 9^k+9 \cdot 4^{k+1} -5 \cdot 4^{k+1} \\ &= 9(9^k + 4^{k+1})-5 \cdot 4^{k+1} \\ &=\underbrace{9(5k)-5 \cdot 4^{k+1}}_{\text{This is where the $5k$ comes in}} \\ &= 5(9k-4^{k+1}),\end{align}$$ por lo tanto, la expresión original un múltiplo de $5$ .

¿Es correcta mi inducción?

Editar: Veo varias respuestas que tomaron un enfoque diferente, todo es bienvenido realmente me ayuda a verlo de una manera diferente. ¡Gracias!

Answer 1

Sí su prueba es correcta, como una nota alternativa que

$$9^n+4^{n+1}\equiv (-1)^n+(-1)^{n+1}\equiv0 \mod 5$$

Answer 2

Por el teorema del binomio, $9^n+4^{n+1}=(5+4)^n+4^{n+1}=5a+4^n+4^{n+1}=5a+5\cdot4^n$ .

Answer 3

Por inducción:

$n=0$ : $9^0+4^1=5$ divisible por $5$ .

Hipótesis:

Supongamos : $9^n+4^{ n+1}$ es divisible por $5$ .

Paso:

$9^{n+1}+4^{n+2} =9 \cdot 9^{n} +4 \cdot 4^{n+1}=$

$(5+4)9^n +4 \cdot 4^{n+1} =$

$ 5 \cdot 9^n +4(9^n+4^{n+1})=$

$ 5 \cdot 9^n +4\cdot 5c= 5(9^n+4c)$ ,

donde $c \in \mathbb{Z^+}$ ya que $(9^n+4^{n+1})$

es por hipótesis divisible por $5$ ,

Answer 4

O de otra forma: $$9^n + 4^{n+1} = (10-1)^n +(5-1)^{n+1}=10c+(-1)^n + 5d+(-1)^{n+1}=10c+5d = 5e$$

Edita:

Otra forma similar: $$9^n + 4^{n+1}= 9^n+4\cdot(9-5)^n = 9^n+4(9^n+5c)= (1+4)9^n + 20c = 5e$$

Answer 5

SUGERENCIA. $9^n$ es congruente con $1$ o $9$ modulo $10$ y $4^m$ es congruente con $4$ o $6$ modulo $10$ . El número entero $9^n+4^{n+1}$ siempre terminan con $5$ .