¿Por qué esta suma$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{2^{2^{n-1}}}{2^{2^n}-1}}$ converge a 1?

Question

Un amigo mío me dio este concurso: ¿de Dónde viene esta suma converge a? $$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{2^{2^{n-1}}}{2^{2^n}-1}}$$ $a_1=\frac{2}{3} , a_2=\frac{4}{15}, a_3=\frac{16}{255},...$e $S_1=\frac{2}{3}, S_2=\frac{14}{15} , S_3=\frac{254}{255}, ...$ Así que pensé que esta suma converge a 1.

Deje $$2^{2^{n-1}}=A_n, a_n=\frac{A_n}{A_n^2-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{A_n+1}+\frac{1}{A_n-1}\right)$$ Desde $A_n = A_{n-1}^2$, pensé que esto podría conducir a la búsqueda de la suma parcial de la serie. He podido demostrar que $$S_n=1-\frac{1}{A_n^2-1}$$by mathematical induction, but I want to know whether my method can be useful for finding $S_n$ desde cero.

Así que mi pregunta es: ¿hay una manera de encontrar la $S_n$ desde cero??

También, he encontrado que $$a_n=\frac{\frac{1}{A_n}}{1-\frac{1}{A_n^2}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{A_n^{2n-1}}}=\frac{1}{2^{1\cdot2^{n-1}}}+\frac{1}{2^{3\cdot 2^{n-1}}}+\frac{1}{2^{5\cdot 2^{n-1}}}+....\\ \, por tanto \sum_{n=1}^\infty {a_n}=\frac{1}{2^{1\cdot 2^{0}}}+\frac{1}{2^{3\cdot 2^{0}}}+\frac{1}{2^{5\cdot 2^{0}}}+...\\ +\frac{1}{2^{1\cdot 2^{1}}}+\frac{1}{2^{3\cdot 2^{1}}}+\frac{1}{2^{5\cdot 2^{1}}}+...\\ +\frac{1}{2^{1\cdot 2^{2}}}+\frac{1}{2^{3\cdot 2^{2}}}+\frac{1}{2^{5\cdot 2^{2}}}+... \\ =\sum_{n=1}^{\infty}{2^{n}}=1$$

Es esta una forma válida? He utilizado la de Riemann de la serie teorema de reorganizar.

Answer 1

He aquí otra manipulación que podría hacer que no requiere ningún tipo de reorganización, sólo el simple hecho de que dos convergente la serie puede ser añadido plazo de sabios (que es un conmutatividad de la suma, más una adición de secuencias convergentes declaración). Vamos a escribir $$s_n = \frac{2^{2^{n-1}}}{2^{2^n}-1};$$ $$a_n = \frac{1}{2^{2^{n-1}}-1};$$ $$b_n = \frac{1}{2^{2^{n-1}}+1};$$ $S=\sum_{n=1}^\infty s_n$; $A = \sum_{n=1}^\infty a_n$; y $B = \sum_{n=1}^\infty b_n$. Es fácil ver que $A,B < \infty$ en comparación con algunos simples (por ejemplo, geométrica) de la serie. Desde $s_n = a_n/2 + b_n/2$, $S=A/2+B/2<\infty$ y el siguiente:se $$a_n = a_{n-1}/2 - b_{n-1}/2, \;\;\;\mbox{so}$$ $$A = a_{0}/2-b_0/2 + A/2 - B/2 = 1+A/2-B/2, \;\;\;\mbox{so}$$ $$S = A/2 + B/2 = (1+A/2-B/2)/2+B/2 = 1/2+(A/2+B/2)/2 = 1/2 + S/2,$$ lo que por supuesto implica la $S=1$.