Las funciones BMO son$L^p$ Loc para todos$1<p<\infty$

Question

Con el fin de motivar a mi pregunta, me gustaría recordar que si $\Omega$ es un dominio acotado y $f \in L^q(\Omega)$ algunos $q>1$, por la desigualdad de Hölder $f \in L^p(\Omega)$ $p \in (1,q]$ con

\begin{equation} \|f\|_{L^p(\Omega)} \le |\Omega|^{(1/p-1/q)} \|f\|_{L^q(\Omega)} \end{equation}

También, podemos ver fácilmente que si $f \in L^\infty(\Omega)$ $f \in BMO(\Omega)$ con \begin{equation} \|f\|_{BMO(\Omega)} \le 2 \|f\|_{L^\infty(\Omega)} \end{equation}

Donde el BMO espacio puede ser visto aquí, donde también podemos ver que si $f \in BMO(\Omega)$ $f \in L^p_{Loc}(\Omega)$ todos los $1<p<\infty$. Pero yo no puedo ver ninguna prueba de este hecho. Me gustaría ver uno. Mejor aún, me gustaría saber si es posible limitar el $L^p$ Loc norma de $f$ $BMO$ norma de f. Que es, hay una constante $C$ tal que \begin{equation} \|f\|_{L^p_{Loc}(\Omega)} \le C\|f\|_{BMO(\Omega)} ? \end{equation}

Una referencia que también es válido. Gracias.

Answer 1

Usted no puede tener una norma de obligado como el que quería, ya que la adición de una constante o una función no cambia es $BMO$-norma, pero sí afecta a la $L^p$-norma.

Como para demostrar la no-cuantitativos de inclusión que uno tiene que de alguna manera se las arreglan para controlar el $L^p$-norma de una función, básicamente, de un $L^1$-integral (o supremum). Por lo tanto, algo no trivial que debe suceder.

Uno no trivial hecho de que uno puede utilizar es el de John - Nirenberg la desigualdad, $$|\{x\in B: |u(x)-u_B|>\lambda\}|\le C_1|B|\exp(-c_2\lambda /\|u\|_{BMO}) $$mentioned in the wikipedia article you cited. Using that we may arrive at $$\int_B |u-u_B|^p \ dx=p\int_0^\infty t^{p-1}|\{x\in B: |u(x)-u_B|>t\}|\ dt \\ \le C|B|\int_0^\infty t^{p-1}\exp(-ct/\|u\|_{BMO})\ dt<\infty $$ for any ball $B\subconjunto \Omega$. Note that proving $u\en L^p_{col}$ is equivalent to proving $u-\en L^p_{col}$ for some $\in \mathbb R$. Para obtener más información y una prueba de John - Nirenberg la desigualdad puede que desee comprobar hacia fuera, digamos, la proposición 3.6 aquí o thm 5.2.1 aquí