¿Cómo crea el principio de exclusión de Pauli una fuerza en la materia degenerada?

Question

Tengo entendido que cuando se trata de formar una enana blanca, es la presión de degeneración de los electrones, debido al Principio de Exclusión de Pauli, la que impide el colapso de la enana blanca. Si la fuerza gravitatoria es lo suficientemente grande, los electrones de la enana blanca se verán obligados a fusionarse con los protones para formar neutrones, y la estrella de neutrones se resiste al colapso por la presión de degeneración de los neutrones. Si la fuerza gravitatoria es aún mayor, se formará un agujero negro.

¿Cómo crea realmente una fuerza el principio de exclusión de Pauli? Me parece, por varias cosas que he leído, que la fuerza debida al Principio de Exclusión de Pauli aumenta a medida que los fermiones se acercan, aunque no estoy seguro de por qué hay una fuerza creciente y no se trata simplemente de que los fermiones no puedan ser empujados exactamente a la misma posición. ¿Es como si los fermiones supieran cuándo se están acercando unos a otros?

Answer 1

¿Cómo crea realmente una fuerza el principio de exclusión de Pauli?

El principio de exclusión de Pauli no dice realmente que dos fermiones no puedan estar en el mismo lugar. Es más fuerte y más débil que eso. Dice que no pueden estar en el mismo estado, es decir, que si son ondas estacionarias, dos de ellos no pueden tener el mismo patrón de onda estacionaria. Pero para la materia en masa, para nuestros propósitos, se convierte en una aproximación decente tratar el principio de exclusión como si dijera que si $n$ las partículas están confinadas en un volumen $V$ Cada uno de ellos debe estar confinado en un espacio de aproximadamente $V/n$ . Como el volumen va como la longitud al cubo, esto significa que sus longitudes de onda deben ser $\lesssim (V/n)^{1/3}$ . Como $V$ se encoge, esta longitud de onda máxima se encoge también, y la relación de Broglie nos dice entonces que el momento sube. El aumento del momento se manifiesta en forma de presión, tal y como ocurriría si se aumentaran los momentos de todas las moléculas de una muestra de aire. Un cuerpo degenerado, como una estrella de neutrones o una enana blanca, se encuentra en un estado en el que esta presión está en equilibrio con la gravedad.

Answer 2

Me gusta la respuesta de Ben, pero ésta es mi opinión al respecto.

La presión de degeneración no se debe a una fuerza fundamental; de hecho, en el modelo más simple, se produce en los gases ideales de sin interacción fermiones.

La simple mecánica cuántica de las partículas en un pozo de potencial infinito (es decir, atrapado en un volumen) nos dice que sólo son posibles ciertas funciones de onda cuantificadas. Cada una de estas funciones de onda tiene un momento asociado. Por tanto, hay un número finito de estados cuánticos por unidad de volumen, por unidad de momento (a veces llamado "espacio de fase"). El principio de exclusión de Pauli (PEP) nos dice que sólo dos (uno para el espín ascendente y otro para el descendente) podrían ocupar cada uno de estos "estados propios del momento".

En un gas "normal" (no cuántico), ¿qué ocurre cuando lo comprimimos en un volumen pequeño? Pues bien, la teoría cinética nos dice que la presión aumenta porque aumenta la densidad numérica de las partículas y la temperatura, lo que se manifiesta como un aumento de las velocidades y los momentos de las partículas. Estas partículas más rápidas intercambian mayores cantidades de momento con las paredes de nuestro recipiente, por lo que ejercen una mayor presión. Pero , en nuestro gas "normal", podríamos ponerlo en un refrigerador y reducir la presión. Esto se debe a que a las partículas de un gas normal se les puede extraer su energía cinética y pueden caer a ocupar estados de menor energía/momento sin restricción.

Ahora pasemos a un gas de fermiones. La presión se ejerce en un gas de fermiones exactamente de la misma manera. La imagen de la teoría cinética se mantiene. Pero ahora, si enfriamos el gas, inicialmente el comportamiento podría ser bastante similar, pero a medida que todos los estados cuánticos de baja energía/momento se llenan, nos encontramos con que el PEP nos impide extraer más calor de las partículas. Se instalan en estados cuánticos que pueden tener una cantidad apreciable de momento y energía cinética, porque eso es lo más bajo que pueden llegar. Así que, aunque enfriáramos nuestro gas de fermiones hasta casi el cero absoluto, seguiríamos encontrando fermiones con un momento distinto de cero y el gas ejercería una presión (de degeneración).

Una forma sencilla de verlo es como una versión tridimensional del principio de incertidumbre. $$ (\Delta x \Delta p_x) (\Delta y \Delta p_y) (\Delta z \Delta p_z) = \Delta V (\Delta p)^3 \sim \hbar^3$$ Esta relación indica que las partículas pueden estar muy juntas, pero si lo están, deben tener momentos muy diferentes. Este gran rango de momentos es lo que lleva a la presión de degeneración.

El caso extremo se conoce como degeneración completa y es una buena aproximación para los gases ideales de fermiones a muy baja temperatura o a densidades muy altas. En este caso, todos los estados de momento están completamente llenos hasta algo llamado la energía de Fermi y ningún estado de energía superior está ocupado en absoluto. Este gas ejerce una presión de degeneración que es independientemente de la temperatura .

El resto son las matemáticas para calcular (i) la densidad de los estados cuánticos; (ii) cuándo la degeneración se vuelve importante; (iii) qué presión ejerce un gas degenerado utilizando la teoría cinética. Resulta que las estrellas enanas blancas se sostienen casi totalmente por la presión de degeneración de los electrones a densidades de $10^{9}-10^{11}$ kg/m $^{3}$ y la aproximación de la degeneración completa es muy buena, aunque sus temperaturas internas puedan alcanzar $10^{7}$ K. En el extremo superior de este rango, los electrones de la enana blanca son relativistas. (Véase este applet de Geogebra que he creado para ver cómo varía la ocupación de los estados cuánticos con la densidad y la temperatura en una enana blanca). Como los neutrones son mucho más masivos que los electrones, no se degeneran hasta densidades mucho más altas (las matemáticas muestran que va aproximadamente como el cubo de la masa del fermión). Las estrellas de neutrones se apoyan en parte en la presión de degeneración de los neutrones a densidades de $10^{17}-10^{18}$ kg/m $^{3}$ .

Answer 3

La fuerza que asociamos al principio de exclusión de Pauli no es una fuerza fundamental, relacionada con las cuatro interacciones fundamentales, sino una fuerza entrópica , una consecuencia de las limitaciones que el principio impone a las funciones de onda permitidas.

Un enunciado más general del principio establece que la función de onda total de un sistema de dos (o más ) fermiones idénticos es antisimétrica bajo el intercambio de dos partículas. Así, si dos átomos que llevan electrones con el mismo espín se acercan, la parte espacial de la función de onda tiene que ser antisimétrica. Como sabes, la distribución de probabilidad de la posición del electrón es el cuadrado de la amplitud de la función de onda y, por tanto, para un electrón con una función de onda antisimétrica evitará el espacio entre los átomos. Este fenómeno está relacionado con el interacción de intercambio

Por ello, el espacio de fase de los electrones en un sólido de alta densidad estará restringido, una restricción que percibimos a escala macroscópica como una "fuerza".