Considere la posibilidad de \begin{equation} \sum\limits_{n=1}^\infty\frac{\cos(nx)}{n}=-\log|2\sin x/2|~~~ \big(x\in(0,2\pi)\big), \end{equation} y su $2\pi$-periódico extensión de $f$ (para una prueba de la anterior identidad de ver este MSE post.) Observe que $f\in L^1(0,\pi)$, ya que el $f(x)\sim\log(x)~(x\rightarrow0)$. Esta serie de Fourier no es absolutamente o uniformemente convergente.
Mi problema es mostrar que cada una de las sumas parciales \begin{equation} s_N(x)=\sum\limits_{n=1}^N\frac{\cos(nx)}{n} \end{equation} está delimitado en valor absoluto por la misma función de $h\in L^1(0,\pi)$. I. e., $|s_N(x)|\leq h(x)$ por cada $N\in\mathbb{N}$$x\in(0,\pi)$.
Muchas de las cosas que he intentado hasta ahora en su mayoría implican la escritura de las sumas parciales usando el kernel de Dirichlet \begin{equation} D_N(x)=\frac{\sin(N+1/2)x}{2\sin x/2}=\frac{1}{2}+\sum_{n=1}^N\cos(nx). \end{equation} Entonces, el uso de ese $f$ es incluso y $2\pi$-periódico, \begin{align} \pi s_N(x) &=\int_{-\pi}^\pi f(t)D_N(t-x)\text dt \\ &=\int_0^\pi\big(f(y+x)+f(y-x)\big)D_N(y)\text dy \\ &=\int_0^\pi \underbrace{\log\left|\frac{\sin(y-x)/2}{\sin(y+x)/2}\right|}_{\displaystyle{:=g(x,y)}} D_N(y)\text dy. \end{align} Podemos diferenciar $g$ encontrar \begin{equation} \partial_yg(x,y)=\frac{\sin x}{\cos x-\cos y}. \end{equation} Por lo tanto, la integración por partes, \begin{align} \pi s_N(x)=\left[g(x,y)\int_x^yD_N\right]_{y=0}^{y=\pi} -\int_0^\pi\frac{\sin x\int_x^yD_N}{\cos x-\cos y}\text dy. \end{align} El límite de términos se desvanecen desde $g(x,y)$ se desvanece al $y=0,\pi$, por lo que si escribimos $\int_x^yD_N=K_N(x,y)$ \begin{equation} \pi s_N(x)=-\int_0^\pi K_N(x,y)\partial_yg(x,y)\text dy. \end{equation}
Observar que $\partial_yg(x,y)$ es singular como $y\rightarrow x$, y, de hecho, Taylor-expansión de la $\cos y$$x$, se comporta como \begin{equation} \frac{1}{y-x}\big(1+O(y-x)\big). \end{equation} Claramente, entonces, uno tiene que demostrar que $K_N(x,y)$ va a "matar" $(y-x)^{-1}$ en algunos uniforme de la moda como $y\rightarrow x$ (e $N\rightarrow\infty$!). Por desgracia, el uso de la $\sin$-representación de $D_N$ a Taylor-expandir $K_N$ $y=x$ da \begin{equation} K_N(x,y)=D_N(x)\int_x^y\big(1+N\cdot O(t-x)\big)\text dt= D_N(x)(y-x)\big(1+N\cdot O(y-x)\big), \end{equation} donde he dejado fuera el factor de $N$ de la $O$-plazo para ilustrar la falta de uniformidad de la convergencia.
Hay un par de intentos fallidos he hecho en una vena similar (por ejemplo el uso de la $\cos$-representación de $D_N$), pero por miedo de hacer este post demasiado largo, voy a dejarlos fuera. Cualquier idea sobre cómo proceder sería muy apreciada, aunque yo los prefiero a la izquierda como las ideas, y no completamente desarrolladas-respuestas. Gracias de antemano!
