Autovalores envolviendo el producto de la diagonal y Hermitian matrices

Question

Tengo una pregunta con respecto a los valores que implican el producto de la diagonal y Hermitian matrices.

Deje $A$ ser un Hermitian matriz y $B$ ser una matriz diagonal. Estoy tratando de expresar los valores propios de las matrices de $ABA$ $BAB$ en términos de los valores propios de a$A$$B$.

Mientras que yo soy capaz de encontrar los autovalores de las dos matrices bajo unas condiciones muy especiales, me gustaría saber si hay alguna manera de relacionarse con los autovalores de las matrices de $ABA$ $BAB$ en términos de los valores propios de a $A$ $B$ en general.

Answer 1

Esto no es posible. Los autovalores de que el producto de matrices no depende únicamente de los valores propios de cada multiplicand / multiplicando. Por ejemplo, considere la posibilidad de $$ A=\pmatrix{2&1\\ 1&1},\ \widetilde{A}=\pmatrix{1&1\\ 1&2},\ B=\pmatrix{1&0\\ 0&2}. $$ $A$ $\widetilde{A}$ tienen idénticos a los espectros, sino $ABA$ $\widetilde{A}BA$ no comparten el mismo autovalor y de manera similar para$BAB$$B\widetilde{A}B$.