La equivalencia de la Integridad Axiomas de los Números Reales

Question

Hay muchos equivalente versiones de integridad en el sistema numérico real:
i) LUB/supremum propiedad
ii) la Monotonía de Convergencia de la propiedad
iii) Anidado Intervalo de propiedad
iv) Bolzano, Weierstrass propiedad
v) Criterio de Cauchy de la propiedad

He sido capaz de demostrar: (i)$\implies$(ii)$\implies$(iii)$\implies$(iv)$\implies$(v)
Necesito ayuda con
a) (v)$\implies$(i)
b) (iii)$\implies$(i)

P. S. En la demostración de (v)$\implies$(i), utilizamos la construcción de 2 secuencias mediante mediados de los puntos. Estoy teniendo problemas con demostrando que son secuencias de Cauchy

Answer 1

Dado un conjunto no vacío $T\subset \mathbb{R}$ con un límite superior, $y_0$. Deje $x_0$ ser cualquier elment de $T$.

Dado $x_n$$y_n$, definir $z_n=\frac{x_n+y_n}{2}$.

Si $z_n$ es un límite superior para $T$, luego deje $x_{n+1}=x_n$$y_{n+1}=z_n$.

Si $z_n$ no es una cota superior para $T$, vamos a $x_{n+1}>z_n$ ser miembro de $T$ mayor que $z_n$, y deje $y_{n+1}=y_n$.

Lema: Por cada $n$, $|x_n-y_n|\leq \frac{|x_0-y_0|}{2^n}$

Lema: Si $m>n$, $|y_m-y_n|\leq \frac{|x_0-y_0|}{2^n}$

Por lo $\{y_n\}$ es de Cauchy. Ahora sólo tiene que probar el límite de $\{y_n\}$ es la LUB de $T$. (Sugerencia: Por el mismo razonamiento, $\{x_n\}$ es de Cauchy, y los dos límites deben ser iguales).

Answer 2

Usted no necesita probar que (iii) $\implies$ (i) si usted demostrar que (v) $\implies$ (i). Pero aquí es un boceto.

Deje $S \subset \mathbb R$ ser no vacío y acotado anteriormente. Deje $a \in S$ $b$ ser una cota superior para $S$. Comience con el intervalo de $I_0=[a,b]$. Considerar el punto medio $m=(a+b)/2$. Si $m \in S$, vamos a $I_1=[m,b]$. Si $m$ es un límite superior para $S$, vamos a $I_1=[a,m]$. De lo contrario, no es $a'\in S$ tal que $m<a'$. Deje $I_1=[a',b]$. Repita. Usted obtener una secuencia anidada de los intervalos en los que convergen a $\sup S$.