Si debe haber al menos una persona en cada tabla, ¿en cuántas formas puede 6 personas se sentarán en 3 tablas?
Sé que hay tres posibles maneras de dividir el conjunto de personas P en tres grupos distintos ($1+1+4,1+2+3,2+2+2$). Considerar sólo el caso de $2+2+2$. Al principio pensé que el número de maneras de elegir el primer par de personas a sentarse en una mesa de es${6\choose2}$, pero por alguna razón es $\frac{1}{3}\times {6\choose2}$. ¿Alguien puede explicar por qué este es el caso?
Consideramos los 3 casos mencionados anteriormente:
1) Si se dividen 4/1/1, hay $\dbinom{6}{4}$ formas de seleccionar las 4 personas que se sientan juntos, y $3!$ maneras de disponer de ellos a su mesa, así que esto da $\dbinom{6}{4}(3!)=15(6)=90$ posibilidades.
2) Si se dividen 3/2/1, hay $\dbinom{6}{3}$ formas de seleccionar las 3 personas que se sientan juntos, $2!$ maneras de disponer de ellos a su mesa, y $\dbinom{3}{2}$ formas de seleccionar las 2 personas que se sientan juntos, así que esto le da a $\hspace{.2 in}\dbinom{6}{3}\cdot2\cdot\dbinom{3}{2}=20(2)(3)=120$ posibilidades.
3) Si se dividen 2/2/2, entonces no se $\displaystyle\frac{\binom{6}{2}\binom{4}{2}\binom{2}{2}}{3!}$ o $\;5\cdot3\cdot1=15$ formas para emparejar las 6 personas.
Por lo tanto hay un total de $90+120+15=$225 maneras posibles de hacer esto.
Esto es s(6,3), un número de Stirling de primera especie.
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