Extender positiva de la función positiva de la función en los espacios de Sobolev

Question

Esto es en relación a esta pregunta. Entiendo que la solución, pero quiero hacer algo más con respecto a la extensión de la función. La pregunta es como esta:

Supongamos que $v$ es un real positivo función de con $v \in H^1(\Omega)$ y hay una bola de $B$ tal que $v$ tiene una extensión en $w \in H^1(B)$. Es cierto que la extensión de $w$ puede ser elegido para ser también positivo?

He buscado un poco y no encontrar un teorema acerca de este asunto.

Answer 1

Con el fin de ampliar @Xianghong Chen 's comentarios, vamos a $w\in H^1(B)$ una extensión de $v$. Tenemos que comprobar que el $w_+:=\max(w,0)$ es de $H^1(B)$. Poner $F_n(x):=\begin{cases}\sqrt{x^2+n^{-2}}-n^{-2}&\mbox{if }x\geq 0\\\ 0&\mbox{otherwise.}\end{casos}$. Then $w_n:=F_n(w)$ is in $H^1(B)$. Since $F_n(0)=0$ and for $x\geq 0$, $|F_n'(x)|=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+n^{-2}}}\leq 1$, we have $\nabla w_n =F_n'(w)\nabla w$, and thanks to the dominated convergence theorem we can see that $w_n$ converges to $w_+$ in $L^2(B)$, and $\nabla w_n\a \nabla w\mathbf 1_{\{w(x)>0\}}$ in $L^2(B)$. So $w_+\H^1(B)$ and is non-negative. $\nabla w_+=0$ where $w<0$, so $w_+>0$ en casi todas partes.