Dejemos que $X$ sea un conjunto y $M$ el monoide libre sobre $X$ . Entonces un automorfismo $f$ de $M$ satisface $f(X)=X$ y así $\text{Aut}(M)$ es canónicamente isomorfo a $\mathfrak{S}_X$ .
Mi prueba : Por cada palabra $w\in M$ , dejemos que $l(w)$ sea la longitud de $w$ . Podemos demostrar por inducción en $l(w)$ que $l(f(w))\geq l(w)$ . Dado que lo mismo ocurre con $f^{-1}$ tenemos $l(f(w))=l(w)$ y el caso especial $l(w)=1$ es todo lo que necesitamos para terminar la prueba.
No tengo casi ningún conocimiento formal de la teoría de las categorías, pero intento pensar de forma categórica siempre que es posible. Dado que la proposición anterior puede formularse en lenguaje categórico, supuse que habría una prueba fácil utilizando sólo la propiedad universal de $M$ . Pero entonces me di cuenta de que la afirmación análoga para los grupos no es cierta. Por ejemplo, $\mathbf{Z}$ , el grupo libre sobre un conjunto de un elemento, tiene dos automorfismos.
La razón por la que la prueba anterior se rompe es que allí teníamos un homomorfismo (monoide) $l:M\rightarrow\mathbf{N}$ con $l(X)=\{1\}$ y dicha asignación no existe si $M$ es el libre grupo en $X$ .
Preguntas:
¿Existe un nombre para (una teoría sobre) la propiedad de las categorías de que los grupos de automorfismo de los objetos libres coinciden con los grupos de permutación de los conjuntos subyacentes?
¿Existe una razón "más profunda" para que la categoría de los monoides tenga esta propiedad y la de los grupos no?
