¿Cómo puedo calcular el cohomology grupo $H^1(X,\mathcal O)$ (la gavilla $\mathcal O$ es la gavilla de holomorphic funciones y $X$ es un compacto de superficie de Riemann) ? Sé $H^1(\mathbb P^1,\mathcal O) = 0$ pero no tengo ideas en otro caso. Gracias de antemano !
Respuesta
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Una posibilidad es calcular esto para algunos casos especiales de la curva, y tenga en cuenta que esto es una deformación de todos los idiomas, por lo que la respuesta será la misma para todas las curvas de un mismo género.
Para un especial de la curva, se puede tomar un hyperelliptic curva de género $g$. Se trata de una doble cubierta de $P^1$ ramificados en $2g + 2$ puntos. Por lo tanto, si $s \in H^0(P^1,O(2g+2))$ es la sección que se desvanece en estos puntos, entonces uno puede escribir $X$ $$ X = Spec_{P^1}(S \oplus O(-1-g)), $$ donde el álgebra de la estructura está dada por el mapa $O(-1-g) \otimes O(-1-g) \cong O(-2-2g) \stackrel{s}\to O$. Entonces $$ H^1(X,O_X) = H^1(P^1,S \oplus O(-1-g)) = H^1(P^1,S(-1-g)) $$ tiene dimensión $g$.
