Cambiar un punto no cambia la integral de Riemann

Question

Intenté probar lo siguiente. Por favor, ¿podría alguien decirme si mi prueba es correcta?

Dejemos que $f: [a,b]\to \mathbb R$ sea integrable de Riemann. Entonces cambiando un valor de $f$ entonces $f$ sigue siendo integrable y se integra al mismo valor.

Mi prueba. Dejemos que $x \in [a,b]$ denota el punto donde $f$ se cambia. Dejemos que $\widetilde{f}$ denota la nueva función con $\widetilde{f}(x) = z$ y la antigua función es $f(x) = y$ . Sea $M = |y-z|$ . Sea $\varepsilon > 0$ . Sea $U(f,P)$ denotan la suma superior y $L(f,P)$ la suma inferior para la partición $P$ . Desde $f$ es integrable existe una partición $P$ tal que las sumas superiores menos las inferiores sean menores que epsilon:

$$ U(f,P) - L(f,P) < \varepsilon $$

Dejemos que $Q$ sea el refinamiento de $P$ que consiste en $P$ y $\{x-{\varepsilon \over 2M}, x + {\varepsilon \over 2M}\}$ .

Entonces $U(f,P) \ge U(f,Q)$ y $L(f,P) \le L(f,Q)$ .

Además, $|U(f,Q)-U(\widetilde{f},Q)| \le {\varepsilon \over M}\cdot M = \varepsilon$ . Esto es así porque $f$ y $\widetilde{f}$ sólo difieren en $x$ y en $x$ pueden diferir al máximo en $M$ . Dado que la partición $Q$ contiene el intervalo $(x- {\varepsilon \over 2M}, x + {\varepsilon \over 2M})$ y este intervalo tiene una longitud ${\varepsilon \over M}$ la diferencia máxima de estas sumas sólo puede ser $\varepsilon$ . De la misma manera, $|L(f,Q)-L(\widetilde{f},Q)| \le \varepsilon$ .

Por lo tanto,

$$ |U(\widetilde{f},Q) - L(\widetilde{f},Q)| \le |U(\widetilde{f},Q) - U(f,Q)| + |U(f,Q) - L(f,Q)| + |L(f,Q) - L(\widetilde{f},Q)| \le \varepsilon $$

Answer 1

Sí, su prueba está bien; el único error es que su estimación final debería tener $3\epsilon$ en lugar de $\epsilon$ pero esto no cambia en absoluto la conclusión.

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He aquí una forma alternativa de proceder: Basta con demostrar que una función que es cero excepto en un punto es integrable, y que la integral es cero - Es cierto que la suma de funciones integrables es integrable, y la integral de la suma es la suma de las integrales. Entonces basta con observar que $\overline f$ es la suma de $f$ y tal función.

Para ello, podemos suponer sin pérdida de generalidad que $g$ es una función sobre $[0,1]$ tal que $g(c) = M > 0$ para algunos $c \in [0,1]$ y $0$ de lo contrario. Evidentemente, si $Q$ es cualquier partición de $[0,1]$ entonces $L(g, Q) \ge 0$ . Además, si dejamos que $\epsilon > 0$ y considerar la partición

$$Q = \left\{0, c - \frac{\epsilon}{2M}, c + \frac{\epsilon}{2M}, 1\right\}$$

con las obvias modificaciones si $c$ es demasiado pequeño / grande, entonces

$$U(g, Q) = 2 \frac{\epsilon}{2M} \cdot M = \epsilon$$

para que la integral superior de $g$ es como máximo $\epsilon$ . Desde $\epsilon$ era arbitraria, la integral superior es cero. Como la integral inferior está en menos $0$ y está limitada por la integral superior, ambas son cero, y ya está.