Hallar el volumen del elipsoide $11x^2+9y^2+15z^2-4xy+10yz-20xz=80$

Question

Hallar el volumen del elipsoide $$11x^2+9y^2+15z^2-4xy+10yz-20xz=80$$

Trató de hacer la expresión más simple como $$\frac{X^2}{A^2}+\frac{Y^2}{B^2}+\frac{Z^2}{C^2}=1$$ donde $X, Y, Z$ son liner expresiones de $x, y, z$. A continuación, me gustaría utilizar el volumen de una pelota $$\frac43\pi R^3$$ y escribir el volumen del elipsoide como $$\frac43\pi ABC$$ Pero estoy atascado en el primer paso... alguna ayuda?

Answer 1

Debido a que el elipsoide tiene una ecuación que involucra solamente cuadrática, está centrada en el origen y podemos escribir la ecuación en forma matricial como $$\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}^T\begin{bmatrix}11&-2&-10\\-2&9&5\\-10&5&15\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=80$$ El lado derecho es de 80, por lo que los autovalores $k_i$ de los coeficientes de la matriz $A$ en el medio será escalado por el mismo factor; el verdadero autovalores $\lambda_i$ será recuperada cuando el $k_i$ son divididos por los 80. Ahora a encontrar los autovalores de a $A$: $$\det(A-kI)=0$$ $$\begin{vmatrix}11-k&-2&-10\\-2&9-k&5\\-10&5&15-k\end{vmatrix}=0$$ $$(11-k)(9-k)(15-k)+100+100-100(9-k)-25(11-k)-4(15-k)=0$$ $$1485-399k+35k^2-k^3+200-900+100k-275+25k-60+4k=0$$ $$-k^3+35k^2-270k+450=0$$ No tenemos necesidad de conocer las raíces $k_1,k_2,k_3$ de este polinomio, es sólo el producto de las raíces. Por Viète fórmulas que hemos $$k_1k_2k_3=-\frac{450}{-1}=450$$ Dividiendo por $80^3$ recuperamos el producto de los verdaderos valores propios: $$\lambda_1\lambda_2\lambda_3=\frac{450}{80^3}=\frac9{10240}$$ Cada autovalor es el cuadrado de la inversa de la longitud de uno de los elipsoide semi-ejes (ver por ejemplo aquí, en la página 18). Por lo tanto el producto de la elipsoide del semi-eje longitudes es $$abc=\lambda_1^{-\frac12}\lambda_2^{-\frac12}\lambda_3^{-\frac12}=(\lambda_1\lambda_2\lambda_3)^{-\frac12}=\sqrt{\frac{10240}9}=\frac{32\sqrt{10}}3$$ Finalmente, el elipsoide de volumen funciona como $$V=\frac43\pi abc=\frac43\pi\left(\frac{32\sqrt{10}}3\right)=\frac{128\sqrt{10}\pi}9=141.2919\dots$$