Un bucle de $\phi^4$ teoría en $d = 3$

Question

Estoy tratando de calcular el 1 bucle de corrección para el propagador en masa $\phi^4$ teoría, en $d = 3$, sólo por diversión. El diagrama sólo se ve como una línea recta con un círculo de tocar tangently.

No estoy seguro de si tomar la $m = 0$, de inmediato o a calcular para $m > 0$ antes de tomar $m \to 0$, debido a que los dos métodos dan diferentes respuestas.

El diagrama es $\sim \int d^3k \frac{1}{k^2 - m^2}$. Si me puse a $m = 0$ seguida, luego me $\sim \int k^2 dk \frac{1}{k^2} \sim \Lambda$ donde $\Lambda$ es la frecuencia de corte.

Por otro lado, si tengo que hacer la integral, a través de los resultados en el apéndice de Peskin y Schroeder $$\begin{align} \int d^dk \frac{1}{k^2 - m^2} \sim \frac{\Gamma(1-d/2)}{(m^2)^{1-d/2}} =\Gamma(-1/2)(m^2)^{1/2}. \end{align}$$ $\Gamma(-1/2)$ es finito, por lo que tomar $m \to 0$ este diagrama es $0$.

Así que por un lado es UV divergentes, por otro lado es 0.

Que método debo utilizar? Son las teorías donde $m=0$ $m \to 0$ no es el mismo? Yo también parecen haber perdido la $i \varepsilon$ receta en el propagador en el primer caso -, si tengo que incluir que en y evaluar el diagrama antes de enviar a $\varepsilon \to 0$, entonces el diagrama es$0$.

O tal vez no importa demasiado porque la masa renormalization término puede tomar el cuidado de cualquiera de las divergencias y discrepancias no se mostrará en los cálculos de cualquier observables de todos modos?

Gracias.

Answer 1

Ok voy a responder a mi propia pregunta. Le pregunté a mi QFT profesor, dijo a los diferentes métodos de regularización se dan diferentes respuestas. pero al final del día no importa, porque usted va a cancelar cualquier divergencias de que la integral de cualquier método que utilice, con la misa counterterm de todos modos, para imponer deseado renormalization condiciones. de modo que la integral no es física y que todo es bueno.