Analogoue de una prueba determinante para $3$-tensores

Question

Supongamos que tenemos una matriz de $H$ y quiero saber si existe un vector $r\ne 0$ tal que $H^{ij}r_i r_j=0$. Para ello simplemente se podría calcular si el determinante $\det(H)$ es cero, que es de bajo costo computacional y explícito (no tenemos que encontrar $r$ explícitamente).

Hay un análogo de la prueba para ver si existe un vector $r\ne0$ tal que $G^{ijk}r_i r_j r_k=0$ $3$- tensor $G$?

Yo no especificar el número de dimensiones del espacio vectorial, pero si es relevante $r\in \mathbb R^3$.

Esta pregunta podría estar relacionado al Determinante de un tensor.

Answer 1

Siempre hay un vector. Para ver esto, vamos a $$f(r) = G^{ijk}r_i r_j r_k, \qquad r \neq 0 .$$ Si $f$ es idéntica a cero, cualquier $r \neq 0$ va a hacer. De lo contrario, $f$ asume valores positivos y negativos, ya que $f(-r)=-f(r)$. Entonces, por la continuidad de $f$ y la conectividad del espacio $\mathbb{R}^3\setminus \{ 0 \}$, podemos ver que $f$ también debe tomar el valor de cero para algunos $r \neq 0$.

Answer 2

Ejemplo: $$H = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ A continuación,$\det H = -1 \ne 0$, pero para $r = (0,1,0)^\top \ne 0$ hemos $$H^{ij} r_i r_j = r_1 r_1 + r_2 r_3 + r_3 r_2 = 0$$ Así que su criterio no es lo suficientemente buena para ti, deja fuera los casos de $x^\top H x$ donde $x \perp Hx$, sólo cubre $Hx = 0$.