La suma de los números primos, p, que satisfacen la condición de que $8^p+15^p$ es un cuadrado perfecto.

Question

Bueno, la cuestión es así:

Supongamos que P es el conjunto de todos los números primos, p, que satisfacen la condición de que $8^p+15^p$ es un cuadrado perfecto.

Hallar la suma de los elementos de la P.

Ahora, aquí, me enteré de un par de bits de información. Sin embargo, no tengo ni idea de cómo usarlas, y si que se puede utilizar incluso.

Por ejemplo, debería ser obvio que 2 pertenece a P. Como $64+225 = 289 = 17^2$ También,

$15\equiv -8 \pmod{23}$ Así que, para todos los números primos mayores que 2, (que, obviamente, son impares)

$8^p+ 15^p\equiv 8^p+ (-8)^p\equiv 8^p-8^p \equiv 0 \pmod{23}$

Supongamos $8^p+15^p = x^2$,, $x^2 \equiv 0 \pmod{23}$,

Y, como el 23 es un número primo, esto significa que, $x \equiv 0 \pmod{23}$$x^2 \equiv 0 \pmod{23^2}$.

También me enteré de que,

$8^p +15^p \equiv 8^{p-(p-1)}+15^{p-(p-1)} \pmod{p}$, por el Teorema de Euler.

Por lo tanto,

$x^2\equiv 8^p+15^p \equiv 8+15 \equiv 23 \pmod{p}$.

Hmm. Realmente lo apreciaría si, en vez de darme una solución plana, alguien me podría señalar en la dirección correcta y tal vez ofrecer un ligero empujón.

Muchas gracias, gente.

Answer 1

Considere lo que los cuadrados perfectos son el modulo 5 (si usted no sabe de eso, el trabajo fuera de las posibilidades) y, a continuación, considere la ecuación de $8^p + 15^p$ mod 5. $15^p$ debe ser fácil, y qué posibilidades hay para $8^p$?

Answer 2

Deje $v_p(n)$ el valor del máximo de potencia principal en $n$. Eso si, $v_p(n)=\alpha\implies p^{\alpha}\mid n$ pero $p^{\alpha+1}\nmid n$.

Como, $23\mid 8+15$

Por el Levantamiento de la Exponente Lema:

$v_{23}(8^p+15^p)=v_{23}(8+15)+v_{23}(p)=1+v_{23}(p)$.

Para, impar primer $p$, $23\mid 8^p+15^p$ pero $23^2\mid 8^p+15^p\iff p=23$.

Así, la respuesta $=2+23=25$.

Answer 3

Tenga en cuenta que para cualquier $n$, $n^2\equiv 0\pmod3$ o $n^2\equiv 1\pmod3$. (A ver, comprobar para cada uno de los casos $n=3k$, $n=3k+1$, $n=3k-1$.)

Desde $3|15$, $3|15^m$ todos los $m>0$, lo $3|15^p$ para todos (positivo) de los números primos $p$, y por lo $15^p\equiv 0\pmod3$ para cualquier prime $p\in P$. Por otro lado, $3$ no dividir cualquier poder de $8$, lo $8^p\not\equiv 0\pmod3$ para cualquier prime $p\in P$.

Con esas observaciones (y el hecho de que $2\in P$) en mente, vamos a ser capaces de determinar con precisión lo que el conjunto de $P$ es.

Supongamos, entonces, que el $p\in P$, por lo que el $8^p+15^p=n^2$ algunos $n$. Nosotros no ha $n^2=0\pmod3$, para, a continuación,$8^p\equiv 8^p+15^p\equiv 0\pmod3$, que ya se ha decidido a ser falsa. Por lo tanto, debemos tener $n^2\equiv 1\pmod3,$, por lo que $$8^p\equiv 8^p+15^p\equiv 1\pmod3.\tag{1}$$ Writing $8=9-1$, binomial expansion gives us $$8^p=\sum_{k=0}^p\binom{p}{k}(-1)^k9^{p-k}=(-1)^p+3\sum_{k=0}^{p-1}\binom{p}{k}(-1)^k3^{2p-2k-1},$$ so $8^p\equiv(-1)^p\pmod3,$ and combining this with $(1)$ gives us $$(-1)^p\equiv 1\pmod3.\tag{2}$$ Since $-1\no\equiv 1\pmod3$, then $p$ no puede ser impar.

Por lo tanto, $P=\{2\}$.