Deje $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ ser ortogonal secuencia de cero de funciones en un espacio de Hilbert $H$ con producto interior $\langle f,g\rangle_{H}=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)g(x)dx$. Demostrar que para cualquier secuencia de números de $\{a_{n}\}$, $\sum_{n}|a_{n}|^{2}<\infty$ $\sum_{n}a_{n}f_{n}=0$ $a_{n}=0$ todos los $n$.
He intentado lo siguiente: Deje $\{a_{n}\}$ ser una secuencia, con $\sum_{n}|a_{n}|^{2}<\infty$$\sum_{n}a_{n}f_{n}=0$. A continuación, elija cualquiera de los $f_{m}$, y tomar interior del producto con la suma: $$0=\langle f_{m}, \sum_{n}a_{n}f_{n} \rangle= \sum_{n}a_{n}\langle f_{m}, f_{n} \rangle=a_{m}\langle f_{m}, f_{m} \rangle $$ que implica que $a_{m}=0$ todos los $m$. Pero estoy un poco se preocupe acerca de la toma de la suma, el producto interior, es como intercambiando el orden de la suma y la integral, ya que
$$\langle f_{m}, \sum_{n}a_{n}f_{n} \rangle= \int_{-\infty}^{\infty} \sum_{n}a_{n}f_{m}(x)f_{n}(x)dx=\sum_{n}a_{n} \int_{-\infty}^{\infty} f_{m}(x)f_{n}(x)dx=\sum_{n}a_{n} \langle f_{m}, f_{n} \rangle $$
¿Se me olvida algo? ¿Debo preocuparme por esto? Creo que debería usar ese $\sum_{n}|a_{n}|^{2}<\infty$ en alguna parte!
