¿Cuál es la suma de los recíprocos de todos los factores de un número?

Question

Supongamos que tengo alguna operación $f(n)$ que se da como

$$f(n)=\sum_{k\ge1}\frac1{a_k}$$

Donde $a_k$ $k$th factor de $n$.

Por ejemplo, $f(100)=\frac11+\frac12+\frac14+\frac15+\frac1{10}+\frac1{20}+\frac1{25}+\frac1{50}+\frac1{100}=\frac{217}{100}$

$f(101)=\frac11+\frac1{101}=\frac{102}{101}$

$f(102)=\frac11+\frac12+\frac13+\frac16+\frac1{17}+\frac1{34}+\frac1{51}+\frac1{102}=\frac{216}{102}$

Me preguntaba si era posible representar en un gráfico de $f(n)$, y se preguntó si había algún patrones interesantes. También me pregunto si hay una forma cerrada de la representación y de la si $\lim_{n\to\infty}f(n)$ podría ser evaluados o determinado para ser finito o no, o cualquier otra cosas interesantes que podría suceder en este límite.

En segundo lugar, me preguntaba acerca de otro similar de la serie, que se considera a $b_k$ $k$th el primer factor de $n$.

$$p(n)=\sum_{k\ge1}\frac1{b_k}$$

¿Qué podemos determinar sobre esta serie?

Answer 1

Tenga en cuenta que $n\cdot f(n)$ es la suma de los factores de $n$ (escrito en un orden diferente), que se denota por a $\sigma(n)$. Por lo tanto, $\displaystyle f(n)={\sigma (n)\over n}$.

Answer 2

Ramanujan incluido en su papel original en Muy Compuesto de Números, originalmente de 1915. http://math.univ-lyon1.fr/~nicolas/ramanujanNR.pdf sin Embargo, esto fue en una sección de la izquierda, debido a la escasez de papel.

Vamos a ver, me preguntó acerca de este MO http://mathoverflow.net/questions/137865/estimate-term-in-ramanujan-lost-notebook-classic-analytic-number-theory pero no acababa de conseguir lo que quería, así que le escribí a Nicolas. Él es un buen hombre, pero él nunca había oído hablar de mí, y en los sitios que he mencionado eran desconocidos para él. Suspiro. De todos modos, a él no le contesta.

En breve, Ramanujan la construcción que nos permite producir una secuencia de números, cada uno de los anteriores una vez un primo, por lo que la función $\sigma(n)/n$ es sorprendentemente grande para $n$ de ese tamaño. A su vez, esto da a los límites explícitos en la función.

Para los experimentos numéricos de su propio, la manera más fácil de aproximar los números en esta secuencia es simplemente tomar $$ n = \operatorname{lcm} \{1,2,3, \ldots, k \} $$ y poner $n$ en la secuencia cuando se incrementa, lo que ocurre sólo cuando $k$ es un principal o de potencia principal. Muy aproximadamente, $n \approx e^k.$ A partir de Robin criterio y relacionados con la materia, vamos a tener $$ \frac{\sigma(n)}{n} \approx e^\gamma \log \log n \approx e^\gamma \log k, $$ where $ n = \operatorname{lcm} \{1,2,3, \ldots, k \} .$ Tenga en cuenta que $e^\gamma \approx 1.7810724.$ También tenga en cuenta que es el Primer Número Teorema que dice que el $\log n \approx k.$

Hice yo mismo:

2 n = 2 =  2  function:  1.5 over log k:  2.16404
3 n = 6 =  2 3  function:  2 over log k:  1.82048
4 n = 12 =  2^2 3  function:  2.33333 over log k:  1.68314
5 n = 60 =  2^2 3 5  function:  2.8 over log k:  1.73974
7 n = 420 =  2^2 3 5 7  function:  3.2 over log k:  1.64447
8 n = 840 =  2^3 3 5 7  function:  3.42857 over log k:  1.64879
9 n = 2520 =  2^3 3^2 5 7  function:  3.71429 over log k:  1.69044
11 n = 27720 =  2^3 3^2 5 7 11  function:  4.05195 over log k:  1.68979
13 n = 360360 =  2^3 3^2 5 7 11 13  function:  4.36364 over log k:  1.70126
16 n = 720720 =  2^4 3^2 5 7 11 13  function:  4.50909 over log k:  1.62631
17 n = 12252240 =  2^4 3^2 5 7 11 13 17  function:  4.77433 over log k:  1.68513
19 n = 232792560 =  2^4 3^2 5 7 11 13 17 19  function:  5.02561 over log k:  1.70681
23 n = 5354228880 =  2^4 3^2 5 7 11 13 17 19 23  function:  5.24412 over log k:  1.6725
25 n = 26771144400 =  2^4 3^2 5^2 7 11 13 17 19 23  function:  5.41892 over log k:  1.68348
27 n = 80313433200 =  2^4 3^3 5^2 7 11 13 17 19 23  function:  5.55787 over log k:  1.68633
29 n = 2329089562800 =  2^4 3^3 5^2 7 11 13 17 19 23 29  function:  5.74952 over log k:  1.70746
31 n = 72201776446800 =  2^4 3^3 5^2 7 11 13 17 19 23 29 31  function:  5.93499 over log k:  1.72831
32 n = 144403552893600 =  2^5 3^3 5^2 7 11 13 17 19 23 29 31  function:  6.03071 over log k:  1.7401
37 n = 5342931457063200 =  2^5 3^3 5^2 7 11 13 17 19 23 29 31 37  function:  6.1937 over log k:  1.71527
41 n = 219060189739591200 =  2^5 3^3 5^2 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41  function:  6.34477 over log k:  1.70854
43 n = 9419588158802421600 =  2^5 3^3 5^2 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43  function:  6.49232 over log k:  1.72613
47 n = 442720643463713815200 =  2^5 3^3 5^2 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47  function:  6.63046 over log k:  1.72213
49 n = 3099044504245996706400 =  2^5 3^3 5^2 7^2 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47  function:  6.74886 over log k:  1.73411
53 n = 164249358725037825439200 =  2^5 3^3 5^2 7^2 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53  function:  6.8762 over log k:  1.73191
59 n = 9690712164777231700912800 =  2^5 3^3 5^2 7^2 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59  function:  6.99274 over log k:  1.71494

En comparación, la función, por ejemplo, $n$ prime es muy pequeño, sólo $1 + (1/n).$

Answer 3

Deje $X_k$ ser el producto de la primera $k$ números primos. Deje $Z_k$ la suma de los recíprocos de los primeros a $k$ números primos. Entonces claramente $f(X_k)>Z_k$, y es bien sabido que el $Z_k$ es ilimitado, por lo $f(a_k)$ no tiene un límite finito. Por otro lado, si $P_k$ $k$'th prime, a continuación, $f(P_k)$ va claramente a $1$. Por lo tanto, $f(a_k)$ no tiene un límite distinto $1$. Por lo tanto, $lim_{k\rightarrow\infty}a_k$ no puede existir.

Answer 4

Sólo por la diversión de hacerlo, he gráficamente esto a $n=18$

Estos son los datos:

Como se puede ver, los puntos se mueven por todo el lugar. A través de este dominio, no parecen tener un máximo local en cada número, aunque. Quizás esto es debido a que tienen la ventaja de un plus $1/2$

Aquí está la tabla que he hecho por si alguien quiere ver el doble:

También, aquí está el enlace a la gráfica

Answer 5

Aquí están las parcelas de $f(n)=\frac{\sigma(n)}{n}$ .
Los patrones de estas parcelas son increíbles!
Para $1000$

Y aquí es $100,000$

Este diagrama muestra el $\lim_{x\to \infty} f_n$ no es plausible !