La normalidad de los condicionales pdf(s) no implica BVN

Question

Mostrar por medio de ejemplo que la normalidad de la condicional pdf(s) no implica que la densidad bivariante es normal.

Sé que de el siguiente ejemplo de que si $\ U,V,W$$\ T$, de manera independiente, distribuido con
$U \sim N(0,1)$
$V \sim N(0,1)$
$W \sim N(0,1)$ y
$T \sim U(0,1)$ ,
a continuación, $X = U\sqrt{T} + V\sqrt{1-T} \sim N(0,1)$ $Y = W\sqrt{T} + V\sqrt{1-T} \sim N(0,1)$ pero $(X,Y)$ no siga $BVN$ distribución.

Este puede ser modificado para responder a la pregunta de arriba? Si no, por favor alguien puede proporcionar un ejemplo adecuado.

Gracias!

Answer 1

Vamos a definir un bivariante variable aleatoria $(X,Y)$ teniendo pdf $f(x,y)$ como: $$f(x,y) = \lambda {e^{ - (1 + {x^2})(1 + {y^2})}}$$ donde$- \infty < x < \infty$$- \infty < y < \infty$. Claramente, $(X,Y) \nsim BVN$

Ahora la distribución Marginal de $X$ se obtiene de la siguiente manera: $${f_X}(x) = \int\limits_{ - \infty }^\infty {f(x,y)dy}$$ $$= \lambda {e^{ - (1 + {x^2})}}\int\limits_{ - \infty }^\infty {{e^{ - (1 + {x^2}){y^2}}}dy}$$ Ahora, usando el hecho de que: $\int\limits_{ - \infty }^\infty {{e^{ - a{x^2}}}dx = \sqrt {\frac{\pi }{a}} }$, tenemos: $${f_X}(x) = \lambda {e^{ - (1 + {x^2})}}\sqrt {\frac{\pi }{{1 + {x^2}}}}$$ Del mismo modo, podemos encontrar la distribución Marginal de $Y$. $${f_Y}(y) = \lambda {e^{ - (1 + {y^2})}}\sqrt {\frac{\pi }{{1 + {y^2}}}}$$ Ahora, $$f(x|y) = \frac{{f(x,y)}}{{f(y)}}$$ $$= \frac{{\lambda {e^{ - (1 + {x^2})(1 + {y^2})}}}}{{\lambda {e^{ - (1 + {y^2})}}\sqrt {\frac{\pi }{{1 + {y^2}}}} }}$$ Después de simplificar un poco finalmente tenemos, $$= \frac{1}{{\sqrt {2\pi } \left( {\frac{1}{{\sqrt {2(1 + {y^2})} }}} \right)}}{e^{ - \frac{1}{2}{{\left( {\frac{x}{{\frac{1}{{\sqrt {2(1 + {y^2})} }}}}} \right)}^2}}}$$ $$\Rightarrow X|Y \sim N\left( {0,\frac{1}{{\sqrt {2(1 + {y^2})} }}} \right)$$ Del mismo modo, podemos mostrar que $Y|X \sim N\left( {0,\frac{1}{{\sqrt {2(1 + {x^2})} }}} \right)$.

Por lo tanto, este ejemplo muestra que la normalidad de la condicional pdf(s) no implica que el bi-densidad de la variable aleatoria es también normal.