Vamos a definir un bivariante variable aleatoria $(X,Y)$ teniendo pdf $f(x,y)$ como:
$$f(x,y) = \lambda {e^{ - (1 + {x^2})(1 + {y^2})}}$$
donde$- \infty < x < \infty$$- \infty < y < \infty$.
Claramente, $(X,Y) \nsim BVN$
Ahora la distribución Marginal de $X$ se obtiene de la siguiente manera:
$${f_X}(x) = \int\limits_{ - \infty }^\infty {f(x,y)dy}$$
$$= \lambda {e^{ - (1 + {x^2})}}\int\limits_{ - \infty }^\infty {{e^{ - (1 + {x^2}){y^2}}}dy} $$
Ahora, usando el hecho de que: $\int\limits_{ - \infty }^\infty {{e^{ - a{x^2}}}dx = \sqrt {\frac{\pi }{a}} } $, tenemos:
$${f_X}(x) = \lambda {e^{ - (1 + {x^2})}}\sqrt {\frac{\pi }{{1 + {x^2}}}} $$
Del mismo modo, podemos encontrar la distribución Marginal de $Y$.
$${f_Y}(y) = \lambda {e^{ - (1 + {y^2})}}\sqrt {\frac{\pi }{{1 + {y^2}}}} $$
Ahora,
$$f(x|y) = \frac{{f(x,y)}}{{f(y)}}$$
$$= \frac{{\lambda {e^{ - (1 + {x^2})(1 + {y^2})}}}}{{\lambda {e^{ - (1 + {y^2})}}\sqrt {\frac{\pi }{{1 + {y^2}}}} }}$$
Después de simplificar un poco finalmente tenemos,
$$= \frac{1}{{\sqrt {2\pi } \left( {\frac{1}{{\sqrt {2(1 + {y^2})} }}} \right)}}{e^{ - \frac{1}{2}{{\left( {\frac{x}{{\frac{1}{{\sqrt {2(1 + {y^2})} }}}}} \right)}^2}}}$$
$$ \Rightarrow X|Y \sim N\left( {0,\frac{1}{{\sqrt {2(1 + {y^2})} }}} \right)$$
Del mismo modo, podemos mostrar que $Y|X \sim N\left( {0,\frac{1}{{\sqrt {2(1 + {x^2})} }}} \right)$.
Por lo tanto, este ejemplo muestra que la normalidad de la condicional pdf(s) no implica que el bi-densidad de la variable aleatoria es también normal.
