Es una práctica común en los libros de texto de análisis real mostrar que existe un campo ordenado completo, este campo ordenado se llama entonces los números reales. ¿Qué significa esta existencia (dónde existe) y por qué es necesaria?
También quiero saber la validez de la siguiente observación (entiendo que la observación no es muy rigurosa) . Parece que el axioma de completitud de los números reales tiene que ver con la construcción de los números reales y de forma similar los axiomas de sucesión y de inducción en Axiomas de Peano tienen que ver con la construcción de los números naturales a partir de otros conceptos intuitivos. Tengo las siguientes preguntas:
- ¿Es válida esta observación?
- ¿Por qué necesitamos estos axiomas para los números naturales y reales (los axiomas que tienen que ver con su construcción)? (¿Por qué no tenemos tales axiomas para los racionales, los números negativos o los números complejos?)
- ¿Cómo ayudan estos axiomas en los tratamientos lógicos de los números naturales y reales (qué pasaría sin ellos)?
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Los naturales no se construyen, se dan. De lo contrario, no hay forma de abstraer sobre el sucesor (¿cómo se indexarían o contarían las aplicaciones?).
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Tengo entendido que en los axiomas de Peano el cero está dado los demás se generan Axiomas de Peano . Supongo que se da por hecho el significado intuitivo de la sucesión.
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Debe distinguir especificación de una estructura y su realización (o implementación, como se diría en informática). Los axiomas sirven para especificar lo que queremos de nuestra estructura, para poder trabajar con ella; los números naturales necesitan un principio de inducción para demostrar cosas para todos ellos, y los reales necesitan ser un campo ordenado completo. La realización de estas estructuras (dentro de la teoría de conjuntos) sirve para mostrar las especificaciones puede ser se reunió. Para los enteros y los racionales, las propiedades puramente algebraicas (por ejemplo, los racionales son el campo de las fracciones de los enteros) bastan como especificación
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@abk $\mathrm{SUCC}$ es un mapa de $\mathbb{N}$ a $\mathbb{N}$ . Da $\mathbb{N}$ un pedido. En el sentido teórico de los conjuntos, las funciones no crean valores, sino que los asocian. Tienes un conjunto no especificado que llamas $\mathbb{N}$ y $\mathrm{SUCC}$ envía los valores de ese conjunto de vuelta al conjunto. ¿Tiene sentido?
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@ley-de-cinco Gracias pero lo que no entiendo es si SUCC sólo estaba imponiendo una ordenación en $\mathcal{N}$ entonces no sería necesario el axioma de inducción. Cito de Wkipedia que considerando la noción de números naturales como puede derivarse de los axiomas, los axiomas 1, 6, 7, 8 no implican que la función sucesora genere todos los números naturales diferentes de 0 .
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@MarcvanLeeuwen Gracias entonces los axiomas para los racionales y los enteros también podrían modificarse si descubrimos que se necesita un axioma para demostrar algo para ellos. Si este es el caso, entonces siempre existe la posibilidad de que el conjunto de axiomas cambie para una estructura dada dependiendo de lo que necesitemos demostrar. ¿Es esto cierto?
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@abk Son puntos finos y quizás no estoy siendo un comentarista constructivo. La AP asume la existencia de algún conjunto que satisface los axiomas, pero no crea ese conjunto. Normalmente algo como el Axioma del Infinito afirma la existencia de ese conjunto, que luego puedes pasar a PA.
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@law-of-fives En realidad usted hizo un punto agradable y válido allí, FoL PA definitivamente no crea el conjunto, pero mi pregunta es sobre SoL no creo que la inducción es expresable en FoL ni la completitud, todavía se utilizan para demostrar un montón de teoremas sin embargo.
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En la construcción habitual de sistemas numéricos sólo se toman como punto de partida los axiomas de Peano. El axioma de completitud no es un axioma, sino un teorema. La mayoría de los libros de texto de análisis lo presentan como axioma sólo para restar importancia a los números reales y centrarse en cambio en los conceptos del análisis. También el axioma de inducción para los números naturales es un mero formalismo que capta la esencia de los números naturales. El significado y la aplicación de la inducción son bastante obvios e intuitivos.
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Su segunda pregunta a este respecto es muy genuina. La razón por la que no utilizamos un enfoque axiomático para los números enteros, racionales o complejos es que sus propiedades son muy fáciles de deducir a partir de una manipulación algebraica básica dados los axiomas de Peano (para los números complejos necesitamos las propiedades de los reales por supuesto). Las propiedades de los reales también se pueden obtener a partir de los axiomas de Peano, pero de una manera muy poco obvia y no intuitiva, por lo que los reales se axiomatizan sólo por razones pedagógicas.