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¿Qué significa la existencia de los números reales?

Es una práctica común en los libros de texto de análisis real mostrar que existe un campo ordenado completo, este campo ordenado se llama entonces los números reales. ¿Qué significa esta existencia (dónde existe) y por qué es necesaria?

También quiero saber la validez de la siguiente observación (entiendo que la observación no es muy rigurosa) . Parece que el axioma de completitud de los números reales tiene que ver con la construcción de los números reales y de forma similar los axiomas de sucesión y de inducción en Axiomas de Peano tienen que ver con la construcción de los números naturales a partir de otros conceptos intuitivos. Tengo las siguientes preguntas:

  1. ¿Es válida esta observación?
  2. ¿Por qué necesitamos estos axiomas para los números naturales y reales (los axiomas que tienen que ver con su construcción)? (¿Por qué no tenemos tales axiomas para los racionales, los números negativos o los números complejos?)
  3. ¿Cómo ayudan estos axiomas en los tratamientos lógicos de los números naturales y reales (qué pasaría sin ellos)?

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Los naturales no se construyen, se dan. De lo contrario, no hay forma de abstraer sobre el sucesor (¿cómo se indexarían o contarían las aplicaciones?).

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Tengo entendido que en los axiomas de Peano el cero está dado los demás se generan Axiomas de Peano . Supongo que se da por hecho el significado intuitivo de la sucesión.

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Debe distinguir especificación de una estructura y su realización (o implementación, como se diría en informática). Los axiomas sirven para especificar lo que queremos de nuestra estructura, para poder trabajar con ella; los números naturales necesitan un principio de inducción para demostrar cosas para todos ellos, y los reales necesitan ser un campo ordenado completo. La realización de estas estructuras (dentro de la teoría de conjuntos) sirve para mostrar las especificaciones puede ser se reunió. Para los enteros y los racionales, las propiedades puramente algebraicas (por ejemplo, los racionales son el campo de las fracciones de los enteros) bastan como especificación

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BrianB Puntos 186

Voy a considerar tres cuestiones:

¿Qué se necesita para la existencia de los números reales?

  • Dejemos que $r$ sea un número impar tal que $r^2$ es incluso...

  • Consideremos un triángulo con cuatro lados...

Cualquier razonamiento que comience con las frases anteriores es un sinsentido porque tal número y tal triángulo no existen. Análogamente, si $\mathbb{R}$ (definido como un campo completo ordenado) no existiera (es decir, si no hubiera ninguna estructura que satisfaga los axiomas de campo completo ordenado) entonces el curso de análisis no tendría sentido. Por eso es necesaria la prueba de la existencia, para demostrar que efectivamente estamos haciendo algo en lugar de nada.

¿Qué significa la existencia de los números reales?

El Análisis Real puede ser visto como un teoría axiomática . En este contexto, la prueba de la existencia de $\mathbb{R}$ (es decir, la construcción de un campo ordenado completo) significa que hay un modelo para los axiomas de un campo completo ordenado y, por tanto, la teoría (es decir, el análisis real) es consistente .

¿Por qué necesitamos el axioma de completitud?

Sin el axioma de completitud no podemos hacer análisis. Tomemos, por ejemplo, $\mathbb Q$ . Satisface todos los axiomas que definen un campo ordenado completo excepto el axioma de completitud y sin embargo es inadecuado para el análisis .

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No podría haberlo dicho mejor Pedro. Definitivamente (+1) de mi parte.

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Muchas gracias. Tu detallada respuesta aclara un poco las cosas, pero si se demuestra la existencia de los Reales, para que podamos demostrar cosas en el análisis real, entonces no sería necesario demostrar la existencia de cualquier otra estructura o cualquier cosa antes de demostrar cosas sobre ellos. Por ejemplo, ¿no habría que demostrar la existencia de conjuntos en la teoría de conjuntos o incluso la existencia de un triángulo en la geometría euclidiana? Si la completitud es necesaria para demostrar cosas que necesitamos hacer en el análisis real, ¿encontraremos alguna vez algo que requiera que se añadan otros axiomas a la lista de axiomas de los números reales?

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@abk En cualquier teoría axiomática, lo que hay que probar antes de empezar a deducir teoremas es la consistencia de los axiomas, lo que se hace construyendo un modelo. La existencia de los objetos de la teoría (que se definen en términos de las nociones primitivas) es una consecuencia de la existencia del modelo (que está constituido por las nociones primitivas). Aquí me refiero a las teorías basadas en la teoría de conjuntos (pero no a la teoría de conjuntos en sí).

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