¿Cómo se demuestra $\lim_{n\to\infty} 1/n^{1/n}$ utilizando sólo teoremas básicos de límites?

Question

¿Cómo se demuestra $\lim_{n\to\infty} \frac {1}{n^{1/n}}$ utilizando sólo teoremas básicos de límites? Pensaba que era $0$ pero mi libro dice que la solución es $1$ . ¿Por qué?

Answer 1

Considere $$a_n=\frac {1}{n^{1/n}}$$ y tomar logaritmos $$\log(a_n)=\frac 1 n \,\log(\frac 1 n)=-\frac{\log(n)}n$$ Por lo tanto, puesto que $n$ varía más rápido que $\log(n)$ entonces $\log(a_n)\to 0$ y así $a_n\to 1$ .

Answer 2

Pista: Utilice $ \lim_{n\to \infty} (a_n)^{1/n}=l $ si $\lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=l$

Answer 3

Método $1$ : Claramente, $n^{1/n}>1$ para todos $n \in \mathbb{N}$ . Sea $n^{1/n} = (1+a)$ . Demostraremos que $a \to 0$ como $n \to \infty$ . Para $n \geq 2$ tenemos $$n = (1+a)^n \geq \dfrac{n(n-1)}2a^2 \implies a^2 \leq \dfrac2{n-1}$$ Por lo tanto, como $n \to \infty$ tenemos $a \to 0$ lo que significa que $n^{1/n} \to 1$ .

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Método $2$ : De AM-GM, para $a > 1$ tenemos $$\dfrac{a+a+\cdots+a+n}n \geq \sqrt[n]{na^{n-1}} \implies (1+a) - \dfrac{a}n \geq n^{1/n}a^{1-1/n}$$ Tomando el límite como $n \to \infty$ obtenemos $$\lim_{n \to \infty} n^{1/n}a \leq (1+a) \implies \lim_{n \to \infty} n^{1/n} \leq 1+\dfrac1a$$ para todos $a \in \mathbb{R}$ . Tomando el límite como $a \to \infty$ obtenemos $$n^{1/n} \leq 1$$ Además, $n^{1/n} \geq 1$ para todos $n$ . Por lo tanto, tenemos $\lim_{n \to \infty} n^{1/n}=1$ .

Answer 4

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{\frac{1}{n}}}=\lim_{n\to\infty}n^{-\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}\exp\left(\ln\left(n^{-\frac{1}{n}}\right)\right)=\lim_{n\to\infty}\exp\left(-\frac{1}{n}\ln\left(n\right)\right)=$$ $$\lim_{n\to\infty}\exp\left(-\frac{\ln\left(n\right)}{n}\right)=\exp\left(-\lim_{n\to\infty}\frac{\ln\left(n\right)}{n}\right)=\exp\left(-\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{\text{d}}{\text{d}n}\left(\ln\left(n\right)\right)}{\frac{\text{d}}{\text{d}n}\left(n\right)}\right)=$$ $$\exp\left(-\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{x}}{1}\right)=\exp\left(-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{x}\right)=\exp\left(-0\right)=\exp(0)=e^0=1$$