Significado de la palabra "lineal" en matemáticas

Question

¿Qué significa exactamente "lineal"? Por ejemplo, el espacio de Hilbert es un espacio lineal. ¿Cuál es la diferencia entre un espacio lineal y uno "no lineal"? Estoy empezando a estudiar álgebra lineal por lo que esta palabra es extremadamente importante, pero qué significa exactamente (especialmente en álgebra lineal).

Answer 1

La linealidad es la propiedad que cumple una función (es decir, la función $f$ se denomina lineal) si satisface las dos propiedades siguientes:

1. $f(x+y)=f(x)+f(y)$

2. $f(ax)=af(x) $ donde $a$ es una constante del campo vectorial en cuestión.

En el álgebra lineal encontrarás que todo Las funciones lineales pueden representarse como una operación matricial y viceversa.

Además, el espacio vectorial y el espacio lineal son la misma cosa. Sólo hay que tener en cuenta que el término espacio lineal es algo arcaico y no se utiliza mucho en los libros modernos. Por eso, sugiero que se utilice el espacio vectorial en su lugar.

EDIT: Como señala qiaochu, el espacio lineal también puede significar http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_space_(geometría) aunque no creo que quisieras esta respuesta. Sólo la incluyo para completarla.

Answer 2

La linealidad tiene un definición precisa . Una función $f$ es lineal si es homogénea ( $\alpha f(x) = f(\alpha x)$ ) y aditivo ( $f(x+y) = f(x) + f(y)$ ). Para mantener las cosas concretas, dejemos que $\alpha$ en la definición sea un número real e imagine $f$ es un mapa de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ . ¿Qué significan estas condiciones?

Bueno, considera el valor de $f$ en $0$ . Desde $f(0) = f(0+0) = f(0)+ f(0) = 2f(0)$ Debemos tener que $f(0) = 0$ .

Además, para cualquier $x\neq 0$ tenemos que $f(x) = xf(1)$ . Por lo tanto, si llamamos a $f(1) = a$ Hemos aprendido que $f(x) = ax$ . Es decir, las funciones 1D que satisfacen las condiciones de linealidad son líneas que pasan por $0$ . Las líneas en el plano son objetos muy bonitos de los que sabemos mucho.

El poder de las definiciones anteriores es que pueden generalizarse al menos de dos maneras. En álgebra lineal, verás que para las funciones $f:\mathbb{R}^n\mapsto\mathbb{R}^m$ Las condiciones de linealidad implican muchas de las buenas propiedades conocidas de las líneas simples unidimensionales en el plano. Esto resulta ser muy útil (y es tomado más lejos como, por ejemplo, análisis funcional ).

Si vas más allá (o tal vez más adelante en el semestre, dependiendo de tu curso), verás que también podemos dejar caer fructíferamente nuestra condición de que $\alpha\in \mathbb{R}$ .

Los espacios lineales (es decir, los espacios vectoriales) y las funciones están muy bien estudiados y tienen muchas aplicaciones en las matemáticas puras y aplicadas, así como en las ciencias. Por ello, a veces se oye hablar (en la ingeniería y en las ciencias) de forma algo más generalizada de "problemas" que son "lineales". En este contexto, se suele pensar en $x$ como entrada a algún sistema. A " sistema lineal " es uno en el que cuando se escala la entrada por $\alpha$ (digamos que pedaleas más rápido en tu bicicleta), la producción del sistema aumenta en la misma medida (tu bicicleta se mueve más rápido en proporción). Es decir, $f(\alpha x) = \alpha f(x)$ .

Un sistema no lineal, por tanto, puede ser aquel en el que un pequeño cambio en la entrada provoca un enorme cambio en la salida (si pedaleas más rápido, tu bicicleta explota). Las explosiones, las turbulencias y el " efecto mariposa "son ejemplos típicos.