En demostrar a $\lim \frac{n^2}{n^2+n+1} = 1$

Question

Demostrar que $\lim \frac{n^2}{n^2+n+1} = 1$

Deje $\varepsilon > 0$ y deje $N = \frac{1}{\varepsilon}.$ $n > N$ implica $n > \frac{1}{\varepsilon} \implies \frac{1}{n} < \varepsilon.$

Pero $\displaystyle \frac{1}{n} = \frac{n+1}{n(n+1)} = \frac{n+1}{n^2+n} > \frac{n+1}{n^2+n+1} = \bigg|\frac{n^2}{n^2+n+1}-1\bigg|.$

Por lo tanto,$\bigg|\frac{n^2}{n^2+n+1}-1\bigg| < \varepsilon$, por lo tanto $\displaystyle \lim \frac{n^2}{n^2+n+1} = 1.$

Podría alguien por favor verificar si lo anterior es correcto.

Answer 1

Su corriente de pensamiento es correcto, simplemente observe que $1/\varepsilon$ no es necesariamente un entero, que es lo que importa si estamos hablando de una secuencia, que es un mapa definida en un subconjunto del conjunto de todos los números enteros. En su lugar, usted puede escribir $N := \lceil 1/\varepsilon \rceil + 1$, por lo que puede asegurarse de que la elección de $N$ a ser un número entero. Sin embargo, esto depende de cómo se define la convergencia de la secuencia; y realmente no es gran cosa, siempre es consistente en lo que usted está hablando.

Answer 2

si $\forall n.a_n \gt 0$ $$ \lim_{n\to\infty} a_n = 1 \Leftrightarrow \lim_{n\to\infty} \frac1{a_n} = 1 $$ conjunto $$ a_n = \frac{n^2+n+1}{n^2} = 1+\frac1{n}+\frac1{n^2} $$ así, por $n \gt 1$ $$ 0 \lt a_n-1 \lt \frac2n $$