Relación entre la función escalón unitario a la función Delta de Dirac

Question

Entiendo que "la función delta" es una distribución, no una función, ya que en él actúa en otra integrando, escogiendo el valor de que integrando en un punto específico.

La discontinuidad de la función se define primero como $$\delta_\epsilon(x) = \begin{cases} 0&x<-\epsilon\\ 1/2\epsilon & -\epsilon\le x\le\epsilon\\0 & x\gt-\epsilon\end{cases}$$

Debido a $$\delta(x) = \delta_{\epsilon\rightarrow0}(x)$$ Por lo tanto, $$\delta(x) = \begin{cases} \infty & x=0 \\ 1 & x\neq0 \end{cases}$ $ & que $$\int_{-\alpha}^\beta \delta(x)dx=1 \;\; \alpha\gt0, \; \beta\gt 0$$

Dadas las conclusiones anteriores, ¿cómo puede la función escalón unitario $H(x)$ estar relacionado con la Función Delta de Dirac $\delta(x)$, de la siguiente manera?$$H(x)=\int_{-\infty}^x\delta(\xi)d\xi$$

Answer 1

En realidad, la falta de definición rigurosa de $\delta$ establece que $\int\limits_a^b\delta(x)\mathrm dx$ $1$ si $a\lt0\lt b$ (lo que recordó en su post), sino que también es $0$ si $a\leqslant b\lt0$ o si $0\lt a\leqslant b$.

Por lo tanto $H(x)=\int\limits_{-\infty}^x\delta(\xi)\mathrm d\xi$ debe $0$ si $x\lt0$ $1$ si $x\gt0$.

Answer 2

Dos maneras de responder:

1. La distribución de derivados de $H(x)$$\delta$. Así que si quieres imitar formalmente el segundo teorema fundamental del cálculo, que la fórmula es lo que usted consigue.

2. $\delta(\xi) d \xi$ también puede ser visto como una medida de probabilidad con el apoyo $\{0\}$. La función de distribución acumulativa es, precisamente,$H$. Su fórmula es sólo la definición de función de distribución acumulativa.