Dada una matriz cuadrada A (digamos con entradas complejas), ¿cuál es la matriz más escasa que es similar a A?
Supongo que tiene que ser su forma normal de Jordania, pero no estoy seguro.
Observaciones:
Una matriz es más escasa que otra si tiene menos entradas no nulas.
Dos cuadrados $n \times n$ matrices $A,C$ son similares si existe una matriz invertible $P$ tal que $A = P^{-1}CP$
El siguiente documento afirma que la matriz de acompañamiento es la más escasa en cierto sentido: doi.org/10.1016/j.laa.2012.08.017
Es un ejemplo interesante. Pero si llamamos a la primera matriz $A$ y el segundo $C$ me parece (motivado por la definición de la forma normal de Jordan) que entre todas las matrices que NO son iguales a $A$ , $C$ es la matriz más similar a $A$ . ¿Se puede generalizar su ejemplo para demostrar que mi afirmación es incorrecta?
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Si la matriz es diagonalizable, está claro que su forma de Jordan es la más escasa de su clase de similitud porque no se puede obtener menos de $\operatorname{rank}(A)$ entradas.
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Mi intuición dice lo mismo, pero aparte de los casos triviales ( $A$ es diagonalizable) no veo una prueba inmediata de ello.
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Simulposted to MO, mathoverflow.net/questions/313224/sparsest-similar-matrix ¡NO HAGAS ESO!