Cuando se $\alpha$ $\cos\alpha$ tanto racional?

Question

He visto un montón de preguntas relacionadas, pero ninguno me llevan a una solución a este problema:

Hay alguna "fácil" caracterización de $\alpha\in\mathbb Q$ tal que $\cos\alpha\in\mathbb Q$?

Se siente como debería ser sólo "algunos" de esos números.
Hay sólo un número finito?

Answer 1

Como se pide en los comentarios:

Se sigue de Lindemann-Weierstrass que $\alpha=0$ es el único ejemplo. A ver que:

Supongamos $\cos(\alpha)$ es algebraico. Luego, por supuesto, $\sin(\alpha)$ también es algebraico. De ello se desprende que $e^{i\alpha}$ es algebraico. Pero Lindemann-Weierstrass nos dice que, a menos que $\alpha=0$, esto implica que $\alpha$ es trascendental. En particular, no puede ser racional (a menos que se $0$).