Expresión de una integral en términos de los números de Bernoulli

Question

En el texto de Análisis Complejo de Ahlfors, los números de Bernoulli, $B_k$ se definen como los coeficientes de un desarrollo de Laurent: $$(e^z-1)^{-1}=\frac{1}{z}-\frac{1}{2}+ \sum_1^\infty (-1)^{k-1} \frac{B_k}{(2k)!} z^{2k-1}. $$ (Soy consciente de que esta definición es diferente de la moderna que aparece en Wikipedia).

En el transcurso de la demostración de la fórmula de Stirling, el autor afirma que se puede demostrar que para todo $\nu \geq1$ $$ (-1)^{\nu-1} \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \eta^{2\nu-2} \log \left( \frac{1}{1-e^{-2 \pi \eta}} \right) \mathrm{d} \eta=(-1)^{\nu-1} \frac{1}{(2\nu-1)2\nu} B_\nu$$ "mediante residuos".

He intentado demostrarlo llegando a la función en la definición de los números de Bernoulli, utilizando la integración por partes. He encontrado que $$ \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \eta^{2\nu-2} \log \left( \frac{1}{1-e^{-2 \pi \eta}} \right) \mathrm{d} \eta=\frac{2}{2\nu-1} \int_0^\infty \eta^{2\nu-1} (e^{2 \pi \eta}-1)^{-1} \mathrm{d} \eta $$ Lamentablemente, no puedo encontrar ningún punto $\eta$ con un residuo que contiene $B_\nu$ ... Tal vez si los poderes de $\eta$ estuvieran en el denominador podría haber hecho algo.

¿Alguien puede ayudarme a probar esta identidad?

Answer 1

Véase esta respuesta para empezar. Esta última integral se expresa en términos de una función zeta de Riemann:

$$\frac{2}{2\nu-1} \int_0^\infty d\eta \, \eta^{2\nu-1} (e^{2 \pi \eta}-1)^{-1} = \frac{2}{2\nu-1} \frac{(2 \nu-1)!}{(2 \pi)^{2 \nu}} \zeta(2 \nu)$$

Utiliza el relación

$$\zeta(2 \nu) = \frac{(-1)^{\nu+1} B_{2 \nu} (2 \pi)^{2 \nu}}{2 (2 \nu)!}$$

y se obtiene el resultado buscado.