encontrar el mapa que se continua dada espacios topológicos

Question

Deje $\Omega$ ser discretos en el espacio topológico y $X$ un espacio:

que los mapas de $f: \Omega \to X $ son continuas? que los mapas de $f: X \to \Omega $ son continuas para cada topología en $Y$ ?

Intento:

Para la primera parte, creo que cualquier mapa de $f: \Omega \to X $ es continuo desde la topología de $\Omega$$2^{\Omega} $, por lo que para cualquier abierto $U $ en $X$, $f^{-1}(U) \subset \Omega$ debe estar abierto.

Estoy atascado en la segunda pregunta. Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Su argumento es correcto, ya que cada subconjunto de $\Omega$ está abierto, para cualquier $f:\Omega\to X$, $f^{-1}(U)$ está abierto en $\Omega$ para cada abierto $U\subset X$.

Answer 2

La primera parte ya está grande: si cada pre imagen está abierta, en particular preimages de abrir los conjuntos son abiertos. Ahora para la segunda parte:

Sugerencia: Deje $f$ ser continua. A continuación, cada preimagen $f^{-1}(\omega)$ es abierto y cerrado, ya que también se $f^{-1}(\Omega - \{\omega\})$ está abierto.

Por la forma en que esto le da una caracterización de lo que significa ser conectado por un espacio. I. e. $X$ está conectado si y sólo si cada mapa $X \to A$ en un espacio discreto es constante.

Edit: Vamos a echar un vistazo más de cerca a los mapas de $f$. Cualquier mapa será constante de los componentes conectados. Por el contrario, puede definir una continua mapa mediante la asignación de una constante para cada componente conectado. Por lo tanto se puede conseguir que la $Maps(X,\Omega) \leftrightarrow \Omega^{\#\text{connected components}}$