Básicamente, se trata de decir que la colección de Kuratowski subconjuntos finitos de $X$ es el conjunto más pequeño $K$ que contiene $\emptyset$ y es cerrado bajo la operación de adyacente de un solo elemento. La definición que se acaba de formar esta colección por la formación de la intersección de todos los conjuntos que satisfacen estos generador y cierre de condiciones. A continuación, se definen un conjunto de $X$ a (absolutamente) Kuratowski finito si $X$ es un Kuratowski finito subconjunto de sí mismo.
Para la intuición, por lo general, se piensa en un Kuratowski conjunto finito como la representación de algo construido desde abajo, empezando con $\emptyset$ y junto a elementos individuales de una en una. Esto terminaría con un conjunto como $\{ x_1, x_2, \ldots, x_n \}$ $x_1, \ldots, x_n \in X$ algunos $n \in \mathbb{N}$; pero la definición como dijo evita tener que asumir la existencia de un conjunto de números naturales $\mathbb{N}$.
Para demostrar la declaración de $S \in K \Rightarrow S \cup \{ x \} \in K$, el esquema de la prueba sería mostrar que desde $S$ está en cada Kuratowski conjunto inductivo $K'$, por lo que es $S \cup \{ x \}$, lo $S \cup \{ x \}$ también está en la intersección de todos los Kuratowski conjuntos inductivos.
Por cierto, la colección de Kuratowski subconjuntos finitos de $X$ también tiene un principio de inducción: supongamos $\phi$ es una condición en los subconjuntos de a $X$. Entonces si $\phi(\emptyset)$, y siempre que $\phi(S)$$x \in S$$\phi(S \cup \{x\})$, entonces se puede concluir $\phi(S)$ para todos los Kuratowski finito $S$. Con la definición dada, esto es sólo una reformulación del hecho de que $\{ S \subseteq X : \phi(S) \}$ es Kuratowski inductivo.
Por lo tanto, otro paso en la prueba de su declaración original sería: probar que si $S \subseteq X \cap Y$, $S$ es Kuratowski finito como un subconjunto de a $X$ si y sólo si es Kuratowski finito como un subconjunto de a $Y$. Por simetría, es suficiente para demostrar una dirección. Por lo tanto, vamos a $\phi$ a ser la condición en los subconjuntos de $X$: $S \subseteq Y \Rightarrow S$ es Kuratowski finito como un subconjunto de a $Y$. (O, si ayuda, usted podría pensar de $\phi$: $S \not\subseteq Y$ o $S$ es Kuratowski finito como un subconjunto de a $Y$.) Debe ser de fácil comprobación $\phi$ satisface las hipótesis del principio inductivo, el cual concluye la prueba.
Entonces, como paso final, si $A$ es (absolutamente) Kuratowski finito, a continuación, $A$ es un Kuratowski finito subconjunto de sí mismo, así también es Kuratowski subconjunto finito de $A \cup \{ x \}$. Combinando esto con una declaración anterior, esto implica $A \cup \{ x \}$ es también un Kuratowski subconjunto finito de $A \cup \{ x \}$, lo $A \cup \{ x \}$ es absolutamente Kuratowski finito.
Para un simple ejemplo de la misma especie de definición, se podría considerar que esta definición de números en $\mathbb{N}$: un subconjunto $S$ $\mathbb{N}$ dijo ser $(0, \cdot+2)$-cerrado si $0 \in S$ y siempre $n \in S$, $n+2 \in S$. A continuación, $n \in \mathbb{N}$ es incluso si $n$ es en todos los $(0, \cdot + 2)$-cerrado los subconjuntos de a $\mathbb{N}$. El punto de vista intuitivo desde abajo dice que esto significa que un número puede ser obtenido a partir de 0 y la adición de 2 un número finito de veces.
O, si usted está familiarizado con algunos álgebra abstracta, se puede tratar esto como similar a la definición de los subgrupos de $G$ generado por un subconjunto $S \subseteq G$ como la intersección de todos los subgrupos $H$ $G$ tal que $S \subseteq H$. El punto de vista desde abajo dice que un elemento del subgrupo de $G$ puede ser construido a partir de $e$ y elementos de $S$ productos y inversos en un número finito de pasos.
