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Menor $n$ tal que $S_n$ contiene un subgrupo isomorfo a $C_5$?

El Cayley del teorema nos dice que cada finito grupo es isomorfo a un subgrupo de algunos $S_n$

No tengo idea de cómo ir sobre esta cuestión. Me puede hacer una lista de todos los elementos de a $S_1 , S_2, S_3, ... $ pero supongo que eso no es lo que quiere que yo haga. También tengo que encontrar para $C_2 \times C_2 \times C_2$ $S_3 \times S_3$ pero alguien podría por favor explicar el concepto mediante el $C_5$ ejemplo? Y tal vez voy a ser capaz de probar el resto de mí.

Gracias.

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Steven Lu Puntos 866

Vamos a ser $a\in S_n$, $a^5=e$, $a\ne e$. Por el teorema de Lagrange, $5\,\big|\,n!$ y llegamos a la conclusión de que $n\ge 5$.

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DonAntonio Puntos 104482

Sugerencia:

Un elemento de $\;S_n\;$ orden $\;p\,,\,\,p\;$ un primo, el fib es un producto de la desunión $\;p$-ciclos, por ejemplo, $\;(123)\;,\;\;(123)(345)\;$ son elementos de orden 3 en $\;S_6\;$ .

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Nicky Hekster Puntos 17360

Sugerencia: para las dos primeras (tercera ti mismo (a) - mira las permutaciones $\sigma=( 1 2 3 4 5)$$C_5$$(12),(34),(56)$$C_2 \times C_2 \times C_2$.

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