$(M,g,\nabla)$ De riemann, $f:M\to\mathbb{R}$ $g(\nabla_{\nabla f}\nabla f,\nabla f) = 0 \Rightarrow \nabla_{\nabla f}{\nabla f} = 0$

Question

Deje $(M,g,\nabla)$ un colector de Riemann, $f:M\to\mathbb{R}$ si $g(\nabla f,\nabla f) = 1$, $\nabla_{\nabla f}{\nabla f} = 0.$

No puede seguir desde aquí:

$$\nabla_{\nabla f}g(\nabla f, \nabla f) = 2 g(\nabla_{\nabla f}{\nabla f},\nabla f) = 0.$$

¿Cómo puedo concluir que $\nabla_{\nabla f}{\nabla f} = 0?$

Answer 1

Tenga en cuenta que ${\rm Hess}\ f (v,w)=g(\nabla_v {\rm grad}\ f,w)$ más ${\rm Hess}\ f$ es simétrica por lo que suponemos que EN $\{E_i\}$ diagonalizes es

Por la computación en la OP, podemos asumir que ${\rm grad}\ f =E_n$ por lo tanto ${\rm Hess} f (E_n,E_i)=0$ todos los $i$, de modo que se complete la prueba

Answer 2

Observar que el valor de $\nabla_XY(p)$ depende del valor de $X(p)$ y el valor de $Y$ a lo largo de una curva, la recta tangente a $X$$p$.

También observar que, habida cuenta de Riemann colector de dimensión $n$ y deje $p\in M$ existe un nbd $U\subset M$ $p$ $n$ vector fileld $\{E_1,\cdots ,E_n\}$ s.t a $p$, $\nabla_{E_i}E_j(p)=0$. Básicamente, esto se llama una geodésica marco.

Ahora con respecto a este geodésica marco en $U$ deje $\nabla f(u)= \sum_j c_j(u) E_j(u)$ donde $c_k=E_k(f)$. Ahora observar que en $p$, $E_iE_j(f)(p)=E_jE_i(f)(p)$ ( debido a que la co-variante derivada con respecto a cada uno de los otros a $p$ es $0$). $<\nabla f,\nabla f>=1$ implica $\sum_jc_j(u)^2=1$. Esto implica $E_i(\sum_jc_j^2)=2\sum_jc_jE_i(c_j) =0$.Ahora $\nabla_{\nabla f}\nabla f(p)=\sum_{i,j}c_i(p)E_i(c_j(p))E_j =\sum_{i,j}c_i(p)E_j(c_i)E_j(p)=0$ (última ecuación i.e intercambiando $E_i$ $c_j$ $p$ proviene de la observación).