Cómo el rizo del vector de posición es cero

Question

Soy un nuevo aprendiz de producto tensorial. He visto una pregunta que pide mostrar que la curvatura de un vector de posición es cero. $\nabla \times r=0$

Si escribimos la ecuación usando épsilon, obtenemos,$$\nabla \times r= \epsilon_{ijk} \partial_{j}r_k $ $

¿Cómo podría ser cero?

¿Es esa ecuación un caso especial? Obtenemos que igual a cero solo si alguno de los índices es igual.

Answer 1

Está muy cerca de llegar a la respuesta. Aquí: $$\begin{align} [\nabla \times \vec{r}]_i & = \epsilon_{ijk} \partial_j r_k \\ & = \epsilon_{ijk} \delta_{jk}\end{align}.$$ Usted puede hacer la contracción manualmente a ver que obtendrá cero, o tenga en cuenta que $\epsilon_{ijk}$ es antisimétrica bajo el intercambio de cualquier par de índices. Cualquier tensor será traceless para cualquier par de índices.

Answer 2

Como usted ha dicho, que si dos de los índices son iguales, entonces la ecuación se desvanece. Esto es debido a que la de Levi-Civita símbolo desaparece. Sin embargo, si todos ellos son diferentes, entonces tenemos

$$j \neq k \implies \partial_j r_k = 0 \implies \nabla \times r = 0$$

Debido a que las coordenadas del vector de posición son independientes (es decir, no tienen ningún parcial de la dependencia).

Answer 3

En lugar de utilizar el de Levi-Civita símbolo, $\epsilon_{ijk}$, prefiero escribir de una forma más explícita como $\hat x_i\cdot (\hat x_j \times \hat x_k)$ donde $\hat x_i$ es el Cartesiano vector unitario a lo largo de la $x_i$ eje. Vamos a proceder ahora a escribir el rizo del vector de posición.

El $x_i$ componente de la curvatura de la posición del vector de $\vec r=\sum_{k=1}^3 \hat x_k x_k$ puede ser escrito

$$\hat x_i\cdot \nabla \times \vec r =\hat x_i\cdot (\hat x_j\partial_j)\times (\hat x_k x_k) \tag 1$$

donde la suma sobre índices repetidos en $(1)$ es implícita. Continuando, tenemos

$$\begin{align} \hat x_i\cdot \nabla \times \vec r &=\hat x_i\cdot (\hat x_j \times \hat x_k)\partial_j(x_k) \tag 2\\\\ &=\hat x_i\cdot (\hat x_j \times \hat x_k)\delta_{ij} \tag 3\\\\ &=\hat x_i\cdot (\hat x_j\times \hat x_j) \tag 4\\\\ &=0 \tag 5 \end{align}$$

donde $\delta_{ij}=1$ $i=j$ $0$ otra cosa es la Delta de Kronecker.

En lo que va de $(2)$$(3)$, que señaló que el parcial $\frac{\partial x_k}{\partial x_j} =\delta_{ij}$.

En lo que va de $(3)$$(4)$, hemos explotado la clasificación de propiedades de la Delta de Kronecker, que cernida nuestra la $k$ índice en $k=j$.

En lo que va de $(4)$$(5)$, simplemente reconoce que $\hat x_j \times \hat x_j=0$ todos los $j$.

Y hemos terminado!