Ejemplos de solución de un problema mediante la introducción de nuevos parámetros

Question

Veamos primero algunos ejemplos:

1. He visto muchos ejemplos de cálculo de integrales definidas introduciendo un parámetro adecuado, pero sigo sin entender por qué este método es tan eficaz, mientras que calcular la integral directamente podría ser increíblemente difícil.

2. Recuerdo que en álgebra lineal podemos demostrar el siguiente hecho introduciendo un nuevo parámetro $x$ :

   Es un hecho: Para cualquier $A,B\in M_n(\mathbb R),$ tenemos $\chi_{A\cdot B}(t)=\chi_{B\cdot A} (t).$

Aquí para cualquier $A\in M(\mathbb R),$ $\chi_A(t):=\det(tE-A)$ es el polinomio característico de la matriz $A,$ y $E$ es la matriz identidad en $M_n(\mathbb R).$

Prueba: Si al menos una parte de $A,B$ es no degenerado, por ejemplo, supongamos que $A$ es no degenerado, entonces tenemos $$\chi_{AB}(t)=\det(tE-AB)=\det(A\cdot(tE-BA)\cdot A^{-1})=\det(tE-BA)=\chi_{BA}(t).$$
Ahora bien, si ambos $A$ y $B$ son degenerados, entonces podemos encontrar que como polinimal $f(x)=\det(A+xE)$ sólo tienen raíces finitas, y $f(0)=\det A=0,$ entonces existe una vecindad eliminada $U(0)$ de $0,$ tal que $f(x)\neq 0,\ \forall\ x\in U(0).$

Denotemos el anillo polinómico de coeficientes reales como $\mathbb R[t],$ entonces observe que el mapa $\varphi:\mathbb R\to \mathbb R[t],\ x\mapsto \chi_{(A+xE)B}(t)-\chi_{B(A+xE)}(t)$ es continua, y $\varphi(x)=0,\ \forall\ x\in U(0),$ por lo que tenemos $\varphi(0)=0,$ o $\chi_{A\cdot B}(t)=\chi_{B\cdot A} (t).$
Fin de la prueba

3. Otro ejemplo interesante: https://math.stackexchange.com/q/1395378

Me interesa mucho la motivación para introducir el nuevo parámetro y me gustaría ver más ejemplos de resolución de problemas mediante la introducción de un nuevo parámetro.

Pregunta: Dé (tantos como sea posible) ejemplos de resolución o simplificación de un problema mediante la introducción de nuevos parámetros. También se agradece una explicación de por qué funciona.

Answer 1

(Adoptaré la convención de dar diferentes respuestas en diferentes respuestas, etiquetadas como wiki de la comunidad).

He aquí un ejemplo que me gusta bastante. El problema consiste en demostrar que las siguientes definiciones de $e$ son equivalentes:

1. El único real positivo $e$ tal que $\displaystyle \ln e = \int_1^e \frac{dt}{t} = 1$ .
2. $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$
3. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$ .

La forma más sencilla de enfocar esto es generalizarlo para demostrar que las siguientes definiciones de $e^x$ (introduciendo el nuevo parámetro $x$ ) son equivalentes:

1. El único real positivo $e^x$ tal que $\displaystyle \ln e^x = \int_1^{e^x} \frac{dt}{t} = x$ .
2. $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ .
3. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{x}{n} \right)^n$ .

La razón es que ahora tenemos la libertad de diferenciar con respecto a $x$ e introducir una cuarta definición equivalente:

4. La función única $e^x$ tal que $\displaystyle \frac{d}{dx} e^x = e^x$ y $e^0 = 1$ .

Una vez que se ha establecido que existe una función única con estas propiedades, lo cual no es difícil, demostrar que las otras tres definiciones dan la misma función equivale a demostrar que todas satisfacen estas propiedades, lo cual sólo implica diferenciar todas las definiciones anteriores con respecto a $x$ .

A mi modo de ver, esto también explica cuál es el punto de $e$ es: es realmente $e^x$ que siempre es la estrella de las matemáticas, y $e$ resulta ser su valor en $x = 1$ .

Otro buen ejercicio a partir de aquí es utilizar la definición 4 para demostrar la propiedad exponencial $e^{x + y} = e^x e^y$ . Esto se puede hacer a partir de cualquiera de las otras tres definiciones, pero es tedioso hacerlo directamente a partir de las definiciones 2 ó 3, aunque no está mal con la definición 1.

Answer 2

Un hecho de la teoría de fracciones continuas:

Sea $$\frac{p_n}{q_n} = a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{\ddots \frac{1}{a_n}}} $$ en términos mínimos, donde $a_0, a_1, \ldots$ son enteros positivos. Entonces para cada $n$ , $$p_n q_{n+1} - p_{n+1} q_n = (-1)^{n+1}.$$ De ello se deduce que $$\frac{p_{n+1}}{q_{n+1}} - \frac{p_n}{q_n} = \frac{(-1)^n}{q_n q_{n+1}}.$$

Mi prueba favorita de esto implica introducir una variable extra $x$ y definiendo $$ f_n(x) = a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{ \ddots \frac{1}{a_n + x}}}. $$ Entonces, si se trabajan algunos ejemplos, se llega naturalmente a la conjetura de que $f_n(x) = \frac{p_n + p_{n-1} x}{q_n + q_{n-1} x}$ . La introducción de la variable adicional de $x$ es que le permite sustituir en el interior mismo: $$ f_{n+1}(x) = f_n\left(\frac{1}{a_{n+1} + x}\right). $$ Esto le permite expresar $p_{n+1}$ y $q_{n+1}$ en términos de $a_{n+1}$ , $p_n$ , $p_{n-1}$ , $q_n$ , $q_{n-1}$ y a partir de ahí resulta sencillo demostrar el resultado deseado por inducción. Mientras que con la fracción continua original, pero sin este truco, parecería necesario volver a empezar los cálculos para $\frac{p_n}{q_n}$ para cada nuevo valor de $n$ lo que haría muy difícil intentar encontrar relaciones entre las distintas $p_n$ y $q_n$ .

(En realidad, una vez realizado el trabajo anterior, sigue existiendo una laguna: no se sabe si $\frac{p_n}{q_n}$ es en realidad una fracción en términos mínimos. La ecuación $p_n q_{n+1} - p_{n+1} q_n = (-1)^{n+1}$ implicaría que $p_n$ y $q_n$ son relativamente primos; sin embargo, en este punto, tenemos lo que parece ser un argumento circular. Para corregir las dependencias circulares, la prueba final técnicamente es: definir secuencias $p_n$ y $q_n$ por las relaciones de recursión que encontraste utilizando el argumento anterior. Entonces por inducción, $f_n(x) = \frac{p_n + p_{n-1} x}{q_n + q_{n-1} x}$ y $p_n q_{n+1} - p_{n+1} q_n = (-1)^{n+1}$ . Ahora bien, esta última ecuación implica que $p_n$ y $q_n$ son relativamente primos, por lo que concluimos que $\frac{p_n}{q_n} = f_n(0)$ es, en efecto, la representación en términos mínimos del $n$ término parcial de la fracción continua).

Answer 3

Algoritmos del camino más corto. El objetivo es encontrar el camino más corto desde $s$ (para la fuente) a algunos $v$ donde $s$ y $v$ son vértices de un grafo dirigido ponderado. Todos los algoritmos siguientes resuelven este problema mediante la resolución de un problema más general.

Ejemplos:

Bellman-Ford : Encontrar el camino más corto entre los vértices $s$ a cualquier otro vértice $v$ que tiene como máximo $k$ bordes . El algoritmo utiliza el hecho de que una vez conocida la respuesta para $k$ entonces es fácil encontrarlo para $k+1$ .

Algoritmo de Dijkstra : Encuentre el $k$ vértices más cercanos al vértice $s$ . De nuevo, si se conoce la respuesta para $k$ entonces es más fácil encontrarlo para $k+1$ .

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Todos los pares camino más corto. El objetivo es obtener una matriz que indique el camino más corto entre cada par de vértices.

Ejemplos:

Floyd-Warshall : Encontrar el camino más corto entre cada par de vértices, sujeto a la restricción de que todos los vértices intermedios en las rutas se limitan a $\{1,\dotsc,k\}$ . Seguir aumentando $k$ . Véase también el algoritmo de Kleene para convertir un autómata finito en una expresión regular .

Answer 4

En el muy entretenido libro de Littlewood "Miscelánea de un Matemático", en la página 21, escribe sobre un teorema debido a M. Riesz para el cual una elegante demostración (G. Thorin ("Convexity Theorems", Comunicaciones du seminaire mathematique de l'Universite de Lund, 9)) implica límites superiores anidados y el límite superior más interno se toma con respecto a una variable que no existe.

En la prueba, un límite superior con respecto a un real $\sigma$ a $\sigma$ sustituido por $s+it$ y un nuevo límite superior es que se con respecto a $t$ .

Answer 5

He visto muchos ejemplos de cálculo de integrales definidas introduciendo un parámetro adecuado, pero sigo sin entender por qué este método es tan eficaz, mientras que calcular la integral directamente podría ser increíblemente difícil.

Quiero señalar que incluso cuando calculas una integral definida "directamente" a menudo estás todavía hacerlo introduciendo implícitamente un parámetro. Cada vez que calculas una integral definida calculando una integral indefinida calculando una antiderivada estás introduciendo un nuevo parámetro, a saber, los límites de la integral indefinida. La razón por la que haces esto es para poder diferenciar con respecto a tu nuevo parámetro, y luego aplicar el teorema fundamental del cálculo.

Así que permítanme filosofar un momento sobre por qué esto funciona tan bien. La cuestión es que entender un enunciado u objeto matemático de forma aislada suele ser difícil, pero entenderlo en el contexto de una familia de objetos suele ser mucho más fácil, porque puedes aprovechar las relaciones entre los objetos para utilizar tu comprensión de algunos de ellos para entender los demás. Este principio es muy general y va mucho más allá de las integrales. Puede parecer que te estás librando de algo o que estás haciendo poco trabajo, pero el trabajo consiste en elegir una familia adecuada.

Un ejemplo sencillo de esto es utilizar la inducción para demostrar una secuencia completa $P(n)$ de afirmaciones incluso si originalmente sólo querías demostrar, digamos, $P(10)$ ; la razón por la que se introduce el parámetro $n$ es para que puedas aprovechar tu conocimiento de $P(0)$ para comprender $P(1)$ etc.

Del mismo modo, cuando se introduce un parámetro en una integral se está convirtiendo lo que antes era una integral aislada $I$ en una familia paramétrica de integrales $I(t)$ y ahora puedes intentar comprender cómo se comporta esta familia en función de $t$ Por ejemplo, ver si satisface alguna ecuación diferencial. Si es así, puedes hacer una especie de "inducción continua" en el parámetro $t$ como en la definición de $e^x$ como la única función que satisface $\frac{d}{dx} e^x = e^x$ y $e^0 = 1$ y aprovechar su comprensión de, digamos, $I(0)$ para comprender $I(t)$ para cualquier $t$ y, por tanto, comprender $I(1)$ o cualquiera que fuera su integral original.