Esta puede ser una pregunta muy tonta, pero consideremos una variedad Riemaniana conectada$(M,g)$ y un subconjunto$O\subset M$. ¿Podemos tener$O$ geodésico completo (en el sentido de que todas las geodésicas que unen dos puntos en$O$ pueden extenderse y aún permanecen en$O$) sin$O=M$?
¿Podemos tener$dim(O)=dim(M)$ con$O\subsetneq M$?
Como se señaló en los comentarios, totalmente geodésica submanifolds dar ejemplos con $\dim O < \dim M$. Si desea $O$ tener toda su dimensión, a continuación, otros ejemplos son (sindicatos) de los componentes conectados de M:
Deje $M$ ser un completo conectado el colector y $O$ ser un subconjunto abierto. Si $x\in O$, entonces para cualquier punto de $p \in M$, vamos a $\gamma:[0,1]\to M$ ser la minimización de los geodésica de unirse a $x$ $p$(garantizado por Hopf-Rinow). Desde $O$ está abierto, hay algunos $\epsilon>0$ de manera tal que la restricción de $\gamma$ $(-\epsilon,\epsilon)$es una geodésica en $O$. Por lo tanto, la extensión total $\gamma$ (y, en particular,$p$) debe estar en $O$ por la integridad de $O$.
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