Problema en la integración de las $e^x / x$.

Question

He hecho algunas integrales hacer para divertirse, y que tenía un verdadero problema con este. Desde entonces he descubierto que no hay solución en términos de funciones elementales, pero cuando me intento de integrar, termino con una infinidad de valores. Podría alguien donde puedo ir mal?

Por lo tanto, estoy tratando de determinar: $$ \int{\frac{e^x}{x}} \, dx $$

Integrar por partes, donde $u = 1/x$, e $v \, ' = e^x$. A continuación,$u \, ' = - 1/x^2$, e $v=e^x$. Así,

$$\int{\frac{e^x}{x}} \, dx = \frac{e^x}{x} + \int{\frac{e^x}{x^2}} \, dx$$

Integrar por partes de nuevo, $u = 1/x^2$, $v \, ' = e^x$, de modo que $u \, ' = -2/x^3$$v=e^x$. Así,

$$\int{\frac{e^x}{x}} \, dx = \frac{e^x}{x} + \frac{e^x}{x^2} + 2\int{\frac{e^x}{x^3}} \, dx$$

Repita este proceso ad infinitum para obtener,

$$\int{\frac{e^x}{x}} \, dx = \frac{e^x}{x} + \frac{e^x}{x^2} + 2 \left( \frac{e^x}{x^3} + 3 \left( \frac{e^x}{x^4} + 4 \left( \frac{e^x}{x^5} + \, \cdots \right) \right) \right) $$

La expansión de este da,

$$\int{\frac{e^x}{x}} \, dx = \frac{e^x}{x} + \frac{e^x}{x^2} + \frac{2e^x}{x^3} + \frac{6 e^x}{x^4} + \frac{24 e^x}{x^5} + \cdots $$

Y de factoring, que le da,

$$\int{\frac{e^x}{x}} \, dx = \frac{e^x}{x} \left( 1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2} + \frac{6}{x^3} + \frac{24}{x^4} + \cdots \right) $$

Ahora, teniendo en cuenta la propia serie, la relación entre el $n^{th}$ plazo y el $(n-1)^{th}$ plazo = $\Large \frac{n}{x}$. Finalmente, $n$ mayor que la de $x$, por lo que la relación entre los términos sucesivos será positivo, por lo que (asumiendo $x$ es positivo), la serie diverge, significado (y estoy seguro de que todo el mundo va a temblar al ver la notación utilizada como este), que:

$$\int{\frac{e^x}{x}} \, dx = \frac{e^x}{x} \left( \infty \right) = \infty $$

Answer 1

Esta parte se ve a la derecha:

$$\int{\frac{e^x}{x}} \, dx = \frac{e^x}{x} + \frac{e^x}{x^2} + \frac{2e^x}{x^3} + \frac{6 e^x}{x^4} + \frac{24 e^x}{x^5} + \cdots+ \frac{n!e^x}{x^{n+1}}+(n+1)!\int \frac{e^x}{x^{n+1}}$$

Cuando usted dice "repetir hasta el infinito" usted quiere tomar el límite de que...en el orden de la igualdad a la espera, usted necesita

$$\lim_n (n+1)!\int \frac{e^x}{x^{n+1}}=0 \,.$$

porque ese es su error en el que suma parcial "aproximación". Pero no sólo el límite anterior no es 0, que en realidad no tiene ningún sentido (una integral es una familia de funciones, lo que sucede con el constante???).

Por eso, formalmente, siempre que utilice un proceso de este tipo, usted necesita demostrar que la diferencia entre el n-ésimo término y el límite sigue a 0...

Su idea es similar a la siguiente

\begin{eqnarray} 1&=&1+1-1\\ &=&1+1+1-2 \\ &=&1+1+1+1-3\\ &=&.... \end{eqnarray}

Tomando límite en el infinito de obtener

$$1=1+1+1+...+1+...= \infty$$

En este ejemplo se puede ver de inmediato que el "error" en nuestro appoximations no vaya a 0, de modo que nuestras aproximaciones no son aproximaciones.

Answer 2

Como André Nicolas dijo, que ha expresado una antiderivada de $e^x/x$ en términos de un asintótica de la serie! La prueba es un poco peludo, pero la idea subyacente es relativamente simple, y espero que al menos un poco de esa sencillez se muestra a través de esta respuesta.

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Un asintótica de expansión de una función de $f$ alrededor del punto de $p$, con respecto a la variable $y(x)$, es un poder formal de la serie $$a_0 + a_1 y + a_2 y^2 + a_3 y^3 + \ldots$$ cuyas $n$ésima suma parcial $$\tilde{f}_n(x) = a_0 + a_1 y + \ldots + a_n y^n$$ partidos $f$ $p$ $o(y^n)$ de error. En otras palabras, $$\lim_{x \to p} \frac{f(x) - \tilde{f}_n(x)}{y(x)^n} = 0.$$

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Como amin descubierto, usted está tratando con una función especial llamada la integral exponencial, que se define como la integral $$\operatorname{Ei}(x) = \int_{-\infty}^x \frac{e^u}{u}\;du.$$ La integral exponencial es una antiderivada de $e^x/x$. Específicamente, es la antiderivada de que va a cero en $-\infty$. Centrarse en el poder de la serie parte de su expresión, considere la función $f$ definido por $$\frac{e^x}{x} f(x) = \int_{-\infty}^x \frac{e^u}{u}\;du.$$ Su cálculo sugiere que $$1 + \frac{1}{x} + \frac{2!}{x^2} + \frac{3!}{x^3} + \ldots$$ es un asintótica de expansión de $f$$-\infty$, con respecto a la variable $y(x) = 1/x$. Vamos a probarlo.

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Como N. S. señalado, el $n$ésima suma parcial de la serie difiere de $f$ por $$\begin{align*} f(x) - \tilde{f}_n(x) & = \frac{x}{e^x} (n+1)! \int_{-\infty}^x \frac{e^u}{u^{n+1}}\;du \\ & = x(n+1)! \int_{-\infty}^x \frac{e^{u-x}}{u^{n+1}}\;du \end{align*}$$ Desde $u \le x$ para todo el rango de la integral, $$\begin{align*} \left| \int_{-\infty}^x \frac{e^{u-x}}{u^{n+1}}\;du \right| & \le \left| \int_{-\infty}^x \frac{1}{u^{n+1}}\;du \right| \\ & = \tfrac{1}{n+1} \left| \frac{1}{x^{n+2}} \right| \\ & = \tfrac{1}{n+1} \left| y(x)^{n+2} \right|. \end{align*}$$ Por lo tanto, $$\left|f(x) - \tilde{f}_n(x)\right| \le \left|y(x)^{n+1}\right|\,n!.$$ Desde $y(x)$ va a cero, como se $x$$-\infty$, se sigue que $$\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x) - \tilde{f}_n(x)}{y(x)^n} = 0.$$ Eso significa que su potencia de la serie realmente es un asintótica de expansión de $f$$-\infty$, con respecto a la variable $y(x)$.

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Su expresión asintótica para $\operatorname{Ei}$ cerca de $-\infty$ es genial, pero sería mucho mejor si $\operatorname{Ei}$ tenía una bonita, convergente expansión de Taylor alrededor de $-\infty$, ¿verdad? Como resulta, $\operatorname{Ei}$ tiene un convergentes expansión de Taylor alrededor de $-\infty$, con respecto a la variable $y(x) = 1/x$, pero esta expansión de Taylor tiene un extraño problema que hace que sea inútil.

Los coeficientes de la expansión de Taylor están dadas por los derivados de la $\operatorname{Ei}(x)$ con respecto al $y(x)$$-\infty$. La primera derivada es $$\frac{d\operatorname{Ei}}{dy} = \frac{d\operatorname{Ei}}{dx} \frac{dx}{dy} = \frac{e^x}{x} \left(-\frac{1}{y^2}\right) \\ = -\frac{e^{1/y}} de{y}.$$ Esta primera derivada es cero en $x = -\infty$. De hecho, cada derivado $d^n \operatorname{Ei}/dy^n$ es cero en $x = -\infty$. Esto significa que la expansión de Taylor de $\operatorname{Ei}(x)$$-\infty$, con respecto a la variable $1/x$, es $$0 + 0\frac{1}{x} + 0\frac{1}{x^2} + 0\frac{1}{x^3} + \ldots$$ Esta expansión de Taylor converge en todas partes, como había prometido. Incluso converge a$\operatorname{Ei}(x)$$-\infty$. En todas partes, aunque, converge a un valor incorrecto: $\operatorname{Ei}(x)$ es estrictamente negativo para $x \in (-\infty, 0)$. En términos técnicos, hemos descubierto que la integral exponencial es "suave pero no analítica" a $-\infty$. Un asintótica de expansión es el mejor poder de expansión de la serie que usted puede esperar para obtener de una función como esta.

Answer 3

No hay ninguna primaria antiderivada para esta función.

Puedes echar un vistazo aquí: http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_integral

Lo que se ha calculado aquí:

$$\int{\frac{e^x}{x}} \, dx = \frac{e^x}{x} \left( 1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2} + \frac{6}{x^3} + \frac{24}{x^4} + \cdots \right) $$ es, incluso, algo así como un taylorexpansion de la integral en $x=\infty$