Dejemos que $\Omega\subset \mathbb{R}^d $ sea un subconjunto abierto acotado ( $d\in \mathbb{N}$ ) y denota $\partial\Omega$ su frontera que suponemos es Lipschitz. El clásico problema de Neumann inhomogéneo para el operador de Laplace se asocia a los datos $f:\Omega\to\mathbb{R}$ y $g: \partial\Omega \to \mathbb{R}$ (funciones medibles) consiste en encontrar una función $u:\Omega\to \mathbb{R}$ Satisfaciendo a
\begin {Ecuación} \label {eqlocal-Neumann} \tag { $N_1$ } - \Delta u = f \quad\text en \Omega \quad\quad\text { y } \quad\quad \frac { \partial u}{ \partial \nu }= g ~~~ \text en en en en en en \partial \Omega. \end {Ecuación}
En la configuración estándar se suele elegir $ f$ en $L^2(\Omega)$ o en el espacio dual de $H^1(\Omega)$ y $g$ pueden ser elegidos en los espacios de traza de $H^1(\Omega)$ denotar por $H^{\frac{1}{2}}(\partial\Omega)$ o en su doble $H^{-\frac{1}{2}}(\partial\Omega)$ .
Supongamos que $f\in L^{2}(\Omega)$ y $g \in H^{3/2}(\Omega)$ entonces tenemos la siguiente fórmula de Green-Gauss
$$\label{eqgreen-Gauss} \int_{\Omega} (-\Delta) u v \, \mathrm{d}x = \int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \, \mathrm{d}x- \int_{\partial \Omega} \gamma_{1} u \gamma_{0}v \, \mathrm{d}\sigma(x), \quad u\in H^{2}(\Omega) ~\hbox{and}~v\in H^{1}(\Omega). $$
A partir de ahora, en $\partial \Omega$ simplemente escribimos $\gamma_0 v= v$ y $ \displaystyle\gamma_1 v=\displaystyle \frac{\partial v}{\partial \nu} $ .
Claramente, a partir de esta fórmula de Gauss verde, si $u\in H^{2}(\Omega)$ y resuelve \eqref {eqlocal-Neumann} entonces $u $ satisface el problema variacional
$$\label{eqlocalvar-Neumann}\tag{$ V_1 $} \int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \, \mathrm{d}x= \int_{\partial \Omega} f v \, \mathrm{d}x + \int_{\partial \Omega}gv \, \mathrm{d}\sigma(x), \qquad \hbox{for all } ~~v\in H^{1}(\Omega). $$ En particular, si ponemos $v=1$ la formulación anterior se convierte en $$\label{eqlocalcompatible-Neumann}\tag{$ C_1 $} \int_{\Omega}f\mathrm{d}x+ \int_{\partial \Omega}g\mathrm{d}\sigma(x)=0 $$ que es la condición de compatibilidad.
Viceversa tenemos lo siguiente resultado de regularidad global .
Teorema
Supongamos que $\Omega\subset \mathbb{R}^{d}$ es abierto acotado con $C^2$ -límite. Si una función $ u \in H^{1}(\Omega)$ es la solución a \eqref {eqlocal-Neumann} con $f\in L^{2}(\Omega)$ y $g \in H^{3/2}(\partial\Omega)$ entonces pertenece a $ H^{2}(\Omega).$
Pregunta: ¿En qué libro o referencia recomendable puedo encontrar la demostración del teorema anterior? Sé que la de este Teorema para el correspondiente problema de Dirichlet se ha hecho en el libro de Brezis o de Evans. Evidentemente, ambas referencias evitan el problema de Neumann inhomogéneo.
Nota: Además, observe que si $u$ resuelve \eqref {eqlocal-Neumann} o \eqref {eqlocalvar-Neumann} también lo hace $\tilde{u} = u+c$ por cada $c\in\mathbb{R} $ (que es invariante bajo la constante aditiva).
