Todo lo que sé de la serie de Taylor está en aquí . Dice cómo expandir una función a un polinomio. Sin embargo, veo la serie de Taylor en una forma como esta (aquí $r$ es una superficie parametrizada de $u,v$ ):
$$ \Delta r=dr+ \frac12d ^2r+o(du^2+dv^2)$$
Me confunde, ya que no sé la diferencia entre $ \Delta r$ y $dr$ (todo lo que sé es que son iguales en función de 2 dimensiones, $f=f(x)$ cuando $ \Delta x$ se convierte en infinitesimal). ¿Puede alguien darme una intuición geométrica de $ \Delta r$ y $dr$ junto con $ \Delta ^nr $ y $d^nr$ ?
Además, he oído que en una dimensión superior, la existencia de derivados no implica diferenciación. ¿Alguien puede darme algunos ejemplos sobre eso?
En tercer lugar, no sé cuándo el "infinitesimal de orden superior" puede ser descuidado. En muchos casos descuidaremos el $o(x^n)$ función. ¿Pero cuándo podemos descuidar y cómo podemos saber qué orden podemos descuidar?
Usando la anterior serie de Taylor como ejemplo, dejemos $n$ ser un vector normal unitario de los puntos de la superficie, mi libro decía
$$ \Delta r \cdot n= \left [dr+ \frac12d ^2r+o(du^2+dv^2) \right ] \cdot n= \frac12d ^2r \cdot n$$
¿Por qué el término $o(du^2+dv^2)$ puede ser descuidado pero no el orden más alto o más bajo de $o$ ¿Funcionar?
