¿Alguien sabe un ejemplo de un subespacio lineal cerrado infinito dimensional$S$ de$X=c_0$ (con la sup norma) que no es isomorfo a$X$, es decir, no existe un one-to lineal - ¿un mapa$T$ de$X$ en$S$ de modo que tanto$T$ como su inverso sean continuos?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Philip Brooker
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Para cada secuencia $(E_n)$ finito de dimensiones de los espacios de Banach y cada una de las $\epsilon >0$, existe un subespacio $X$ $c_0$ $(1+\epsilon)$- isomorfo a la $c_0$suma $(\bigoplus_n E_n)_{c_0}$.
Para ver esto, observe que, dado un finito-dimensional espacio de Banach $E$ hay $N\in \mathbb{N}$ tan grande que $E$ $(1+\epsilon)$-incrusta en $\ell_\infty^N$ (tome $N$ a ser la cardinalidad de una $\delta$-net en la unidad de la bola de $E$ donde $\delta$ depende de $\epsilon$). Así $E$ $(1+\epsilon)$-incrusta en $c_0$, y la afirmación de arriba sigue fácilmente.
Por lo que sigue siendo para encontrar las secuencias $(E_n)$ tal que $(\bigoplus_n E_n)_{c_0}$ no es isomorfo a $c_0$; tales secuencias son, sin duda conocido. Por ejemplo, es conocido (véase Lindenstrauss y Tzafriri del Clásico de los Espacios de Banach I, p.73) que $(\bigoplus_n \ell_2^n)_{c_0}$ no es isomorfo a $c_0$. Otro ejemplo surge al considerar $(\bigoplus_n \ell_1^n)_{c_0}$. Utilizando la teoría de los tipo/cotype y la teoría de la [crudos] finito de representatividad, uno puede mostrar que $c_0$ no es crudamente finitely representable en $\ell_1 =c_0^*$, mientras que el $c_0$ es crudamente finitely representable en $(\bigoplus_n \ell_1^n)_{c_0}^*$ desde $(\bigoplus_n \ell_1^n)_{c_0}^*$ contiene uniforme copias de $\ell_\infty^n$. Por lo tanto $c_0^*$ no es isomorfo a $(\bigoplus_n \ell_1^n)_{c_0}^*$, y por lo $c_0$ no es isomorfo a $(\bigoplus_n \ell_1^n)_{c_0}$.
