Tengo un problema que he estado tratando de integrar el uso de las piezas, pero estoy un poco atascado. Tenemos que $x \geq 0$ y asumen $f$ es una función suave (así que no tenemos problemas en $0$) y compacto, en algunos intervalo de $f \in C^{[a,b]}(R_{+})$,$0<a<b<\infty$.
La ecuación es la siguiente:
\begin{align} \|(Bf(x))\|_{L^2_{(R_+)}} & =\left(\int_0^\infty \left\lvert\frac{1}{x} \ \int_0^x f(t) \, dt\right\rvert^2 \ dx\right)^{1/2} \\ &\leq\left(\int_0^\infty \left\lvert\frac{1}{x}\right\rvert^{2} \ \left\lvert \int_0^x f(t) \, dt\right\rvert^2 \ dx\right)^{1/2} \\ &=\left(\int_0^\infty \frac{d}{dx} \left\lvert\dfrac{-1}{x}\right\rvert \ \left\lvert \int_0^x f(t) \ dt\right\rvert^2 \ dx\right)^{1/2} \\ &\leq \left(\int_0^\infty \frac{d}{dx}\left\lvert\dfrac{-1}{x}\right\rvert \ \int_0^x \left\lvert f(t) \right\rvert^{2} \ dt \ dx\right)^{1/2} \end{align}
Ahora para solucionar esto he tratado de establecimiento $dv=\dfrac{d}{dx} \dfrac{-1}{x} dt$ $v=\dfrac{d}{dx}\dfrac{-1}{x}$ ( $x \geq 0$ , lo podemos dejar los valores absolutos), con $u=|f(t)|^{2}$$du=2\lvert f(t) \rvert dt$.
Mi otro intento fue mi $dv=\dfrac{d}{dx}\dfrac{-1}{x} dx$ $v=\dfrac{-1}{x}$ (dx cancelar cuando integramos dv/dx) y la configuración de $u=\int_0^x \lvert f(t) \rvert^2 dt$$du=2f(x)\int_0^x \lvert f(t) \rvert \ dt \ dx$. Este fue tratar de resolver la integral completo a la vez. Este fue el más prometedor de los dos pero no puedo obtener una respuesta que no parecen divergir/ser ilimitado.
Por favor alguien puede decirme donde estoy mal? ¿Qué debería ser la configuración de mi $u, du, v$ & $dv$ piezas como?
El resultado final es para probar que esto es acotado, pero con el del Titular de la desigualdad y la densidad de los argumentos de esta parte debe ser fácil. Este paso intermedio sólo estoy atascado en. Gracias por cualquier ayuda!
