grupo de orden 30

Question

¿Cuáles son los pasos para mostrar que un grupo de orden 30 es solucionable / no solucionable?

No sé cómo proceder. Lo único que sé es que el grupo tiene un grupo de orden$5$ o$3$. No necesito todos los pasos para este problema, solo un resumen de qué hacer.

Answer 1

Algunas ideas:

1) Demuestre que tal grupo siempre tiene un grupo único de orden 3 o un grupo único de orden 5

2) El uso de lo anterior muestra que dicho grupo siempre tiene un subgrupo de orden 15

3) Ahora use lo siguiente: si un grupo$\,G\,$ tiene un sbgp normal. $\,N\,$ st ambos$\,N\,$ y$\,G/N\,$ son solucionables, entonces$\,G\,$ es solucionable

Answer 2

Sólo hay cuatro grupos de orden 30. Son $$S_{3}\times \mathbb{Z}_{5}, D_{5}\times \mathbb{Z}_{3}, C_{30}, D_{15}$$

$C_{30}$ es abelian por lo que debe ser solucionable. $S_{3}$ tiene un único subgrupo normal de orden 3, y su cociente debe ser abelian. $D_{5}$ $D_{15}$'s cociente con su normal subgrupos debe ser abelian si usted piensa en ellos como semidirect producto. De hecho, todos los grupos de la orden de 30 de venir como semidirect producto de $\mathbb{Z}_{3}\times \mathbb{Z}_{5}$$\mathbb{Z}_{2}$. Por lo que deben ser resueltos. Ver esta conferencia nota.